Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36556 / 103007
↖ ↑ ↗
← S 71.158504°
W 79.595947°		 ← 98.64 m → S 71.158504°
W 79.593200°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.159391°
W 79.595947°		 ← 98.63 m →
9 728 m²		 S 71.159391°
W 79.593200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278903961181641 y=0.785884857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278903961181641 × 217)
    floor (0.278903961181641 × 131072)
    floor (36556.5)     		tx = 36556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785884857177734 × 217)
    floor (0.785884857177734 × 131072)
    floor (103007.5)     		ty = 103007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36556 / 103007 ti = "17/36556/103007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36556/103007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36556 ÷ 217
    36556 ÷ 131072     		x = 0.278900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103007 ÷ 217
    103007 ÷ 131072     		y = 0.785881042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.44219970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38921135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785881042480469 × 2 - 1) × π
    -0.571762084960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79624356566312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38921135} λ = -1.38921135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79624356566312))-π/2
    2×atan(0.165920990352523)-π/2
    2×0.164423066900536-π/2
    0.328846133801073-1.57079632675     		φ = -1.24195019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38921135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.595947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24195019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.158504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36556 KachelY 103007 -1.38921135 -1.24195019 -79.595947 -71.158504
    Oben rechts KachelX + 1 36557 KachelY 103007 -1.38916341 -1.24195019 -79.593200 -71.158504
    Unten links KachelX 36556 KachelY + 1 103008 -1.38921135 -1.24196567 -79.595947 -71.159391
    Unten rechts KachelX + 1 36557 KachelY + 1 103008 -1.38916341 -1.24196567 -79.593200 -71.159391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24195019--1.24196567) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dl = 98.6230799990164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24195019--1.24196567) × R
    1.54799999998456e-05 × 6371000     		dr = 98.6230799990164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38921135--1.38916341) × cos(-1.24195019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32295120947096 × 6371000     		do = 98.6376121364983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38921135--1.38916341) × cos(-1.24196567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322936558918546 × 6371000     		du = 98.6331374806859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24195019)-sin(-1.24196567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32295120947096-0.322936558918546)×R²
    abs(-1.38916341--1.38921135)×1.46505524137863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46505524137863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46505524137863e-05×40589641000000     		ar = 9727.72446081705m²