Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36555 / 103013
↖ ↑ ↗
← S 71.163826°
W 79.598694°		 ← 98.61 m → S 71.163826°
W 79.595947°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
S 71.164712°
W 79.598694°		 ← 98.61 m →
9 719 m²		 S 71.164712°
W 79.595947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278896331787109 y=0.785930633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278896331787109 × 217)
    floor (0.278896331787109 × 131072)
    floor (36555.5)     		tx = 36555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785930633544922 × 217)
    floor (0.785930633544922 × 131072)
    floor (103013.5)     		ty = 103013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36555 / 103013 ti = "17/36555/103013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36555/103013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36555 ÷ 217
    36555 ÷ 131072     		x = 0.278892517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103013 ÷ 217
    103013 ÷ 131072     		y = 0.785926818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278892517089844 × 2 - 1) × π
    -0.442214965820312 × 3.1415926535     		Λ = -1.38925929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785926818847656 × 2 - 1) × π
    -0.571853637695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.79653118706084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38925929} λ = -1.38925929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79653118706084))-π/2
    2×atan(0.165873274787704)-π/2
    2×0.16437662938253-π/2
    0.328753258765059-1.57079632675     		φ = -1.24204307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38925929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.598694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24204307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.163826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36555 KachelY 103013 -1.38925929 -1.24204307 -79.598694 -71.163826
    Oben rechts KachelX + 1 36556 KachelY 103013 -1.38921135 -1.24204307 -79.595947 -71.163826
    Unten links KachelX 36555 KachelY + 1 103014 -1.38925929 -1.24205854 -79.598694 -71.164712
    Unten rechts KachelX + 1 36556 KachelY + 1 103014 -1.38921135 -1.24205854 -79.595947 -71.164712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24204307--1.24205854) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dl = 98.5593699994036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24204307--1.24205854) × R
    1.54699999999064e-05 × 6371000     		dr = 98.5593699994036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38925929--1.38921135) × cos(-1.24204307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322863304995765 × 6371000     		do = 98.6107638471126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38925929--1.38921135) × cos(-1.24205854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322848663443597 × 6371000     		du = 98.606291940207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24204307)-sin(-1.24205854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322863304995765-0.322848663443597)×R²
    abs(-1.38921135--1.38925929)×1.46415521676824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46415521676824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46415521676824e-05×40589641000000     		ar = 9718.79438591397m²