Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36554 / 103008
↖ ↑ ↗
← S 71.159391°
W 79.601440°		 ← 98.61 m → S 71.159391°
W 79.598694°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.160278°
W 79.601440°		 ← 98.61 m →
9 725 m²		 S 71.160278°
W 79.598694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278888702392578 y=0.785892486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278888702392578 × 217)
    floor (0.278888702392578 × 131072)
    floor (36554.5)     		tx = 36554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785892486572266 × 217)
    floor (0.785892486572266 × 131072)
    floor (103008.5)     		ty = 103008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36554 / 103008 ti = "17/36554/103008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36554/103008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36554 ÷ 217
    36554 ÷ 131072     		x = 0.278884887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103008 ÷ 217
    103008 ÷ 131072     		y = 0.785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.442230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38930722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.57177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79629150256274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38930722} λ = -1.38930722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79629150256274))-π/2
    2×atan(0.165913036805299)-π/2
    2×0.164415326436336-π/2
    0.328830652872672-1.57079632675     		φ = -1.24196567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38930722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.601440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24196567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.159391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36554 KachelY 103008 -1.38930722 -1.24196567 -79.601440 -71.159391
    Oben rechts KachelX + 1 36555 KachelY 103008 -1.38925929 -1.24196567 -79.598694 -71.159391
    Unten links KachelX 36554 KachelY + 1 103009 -1.38930722 -1.24198115 -79.601440 -71.160278
    Unten rechts KachelX + 1 36555 KachelY + 1 103009 -1.38925929 -1.24198115 -79.598694 -71.160278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24196567--1.24198115) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24196567--1.24198115) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38930722--1.38925929) × cos(-1.24196567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322936558918546 × 6371000     		do = 98.6125631926422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38930722--1.38925929) × cos(-1.24198115) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.322921908288747 × 6371000     		du = 98.6080894465859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24196567)-sin(-1.24198115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322936558918546-0.322921908288747)×R²
    abs(-1.38925929--1.38930722)×1.46506297994398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46506297994398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46506297994398e-05×40589641000000     		ar = 9725.25410148599m²