Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36554 / 102999
↖ ↑ ↗
← S 71.151407°
W 79.601440°		 ← 98.65 m → S 71.151407°
W 79.598694°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
S 71.152295°
W 79.601440°		 ← 98.65 m →
9 736 m²		 S 71.152295°
W 79.598694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278888702392578 y=0.785823822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278888702392578 × 217)
    floor (0.278888702392578 × 131072)
    floor (36554.5)     		tx = 36554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785823822021484 × 217)
    floor (0.785823822021484 × 131072)
    floor (102999.5)     		ty = 102999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36554 / 102999 ti = "17/36554/102999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36554/102999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36554 ÷ 217
    36554 ÷ 131072     		x = 0.278884887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102999 ÷ 217
    102999 ÷ 131072     		y = 0.785820007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.442230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.38930722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785820007324219 × 2 - 1) × π
    -0.571640014648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79586007046616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38930722} λ = -1.38930722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79586007046616))-π/2
    2×atan(0.165984632457839)-π/2
    2×0.164485003257769-π/2
    0.328970006515538-1.57079632675     		φ = -1.24182632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38930722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.601440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24182632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.151407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36554 KachelY 102999 -1.38930722 -1.24182632 -79.601440 -71.151407
    Oben rechts KachelX + 1 36555 KachelY 102999 -1.38925929 -1.24182632 -79.598694 -71.151407
    Unten links KachelX 36554 KachelY + 1 103000 -1.38930722 -1.24184181 -79.601440 -71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 36555 KachelY + 1 103000 -1.38925929 -1.24184181 -79.598694 -71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24182632--1.24184181) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24182632--1.24184181) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38930722--1.38925929) × cos(-1.24182632) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323068439495244 × 6371000     		do = 98.6528345132602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38930722--1.38925929) × cos(-1.24184181) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 98.6483580900763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24182632)-sin(-1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323068439495244-0.323053780098383)×R²
    abs(-1.38925929--1.38930722)×1.46593968602393e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46593968602393e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46593968602393e-05×40589641000000     		ar = 9735.51068085892m²