Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36553 / 102633
↖ ↑ ↗
← S 70.823934°
W 79.604187°		 ← 100.32 m → S 70.823934°
W 79.601440°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 70.824835°
W 79.604187°		 ← 100.32 m →
10 060 m²		 S 70.824835°
W 79.601440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278881072998047 y=0.783031463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278881072998047 × 217)
    floor (0.278881072998047 × 131072)
    floor (36553.5)     		tx = 36553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783031463623047 × 217)
    floor (0.783031463623047 × 131072)
    floor (102633.5)     		ty = 102633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36553 / 102633 ti = "17/36553/102633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36553/102633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36553 ÷ 217
    36553 ÷ 131072     		x = 0.278877258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102633 ÷ 217
    102633 ÷ 131072     		y = 0.783027648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278877258300781 × 2 - 1) × π
    -0.442245483398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.38935516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783027648925781 × 2 - 1) × π
    -0.566055297851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.77831516520522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38935516} λ = -1.38935516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77831516520522))-π/2
    2×atan(0.168922514175201)-π/2
    2×0.167342749929074-π/2
    0.334685499858148-1.57079632675     		φ = -1.23611083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38935516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.604187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23611083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.823934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36553 KachelY 102633 -1.38935516 -1.23611083 -79.604187 -70.823934
    Oben rechts KachelX + 1 36554 KachelY 102633 -1.38930722 -1.23611083 -79.601440 -70.823934
    Unten links KachelX 36553 KachelY + 1 102634 -1.38935516 -1.23612657 -79.604187 -70.824835
    Unten rechts KachelX + 1 36554 KachelY + 1 102634 -1.38930722 -1.23612657 -79.601440 -70.824835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23611083--1.23612657) × R
    1.57399999998198e-05 × 6371000     		dl = 100.279539998852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23611083--1.23612657) × R
    1.57399999998198e-05 × 6371000     		dr = 100.279539998852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38935516--1.38930722) × cos(-1.23611083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328472133549836 × 6371000     		do = 100.323844458772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38935516--1.38930722) × cos(-1.23612657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328457266864109 × 6371000     		du = 100.319303790282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23611083)-sin(-1.23612657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328472133549836-0.328457266864109)×R²
    abs(-1.38930722--1.38935516)×1.48666857263113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48666857263113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48666857263113e-05×40589641000000     		ar = 10060.2013053159m²