Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36553 / 102631
↖ ↑ ↗
← S 70.822129°
W 79.604187°		 ← 100.33 m → S 70.822129°
W 79.601440°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
S 70.823031°
W 79.604187°		 ← 100.33 m →
10 068 m²		 S 70.823031°
W 79.601440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278881072998047 y=0.783016204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278881072998047 × 217)
    floor (0.278881072998047 × 131072)
    floor (36553.5)     		tx = 36553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783016204833984 × 217)
    floor (0.783016204833984 × 131072)
    floor (102631.5)     		ty = 102631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36553 / 102631 ti = "17/36553/102631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36553/102631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36553 ÷ 217
    36553 ÷ 131072     		x = 0.278877258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102631 ÷ 217
    102631 ÷ 131072     		y = 0.783012390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278877258300781 × 2 - 1) × π
    -0.442245483398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.38935516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783012390136719 × 2 - 1) × π
    -0.566024780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.77821929140598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38935516} λ = -1.38935516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77821929140598))-π/2
    2×atan(0.168938710194787)-π/2
    2×0.167358496577855-π/2
    0.334716993155711-1.57079632675     		φ = -1.23607933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38935516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.604187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23607933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.822129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36553 KachelY 102631 -1.38935516 -1.23607933 -79.604187 -70.822129
    Oben rechts KachelX + 1 36554 KachelY 102631 -1.38930722 -1.23607933 -79.601440 -70.822129
    Unten links KachelX 36553 KachelY + 1 102632 -1.38935516 -1.23609508 -79.604187 -70.823031
    Unten rechts KachelX + 1 36554 KachelY + 1 102632 -1.38930722 -1.23609508 -79.601440 -70.823031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23607933--1.23609508) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23607933--1.23609508) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38935516--1.38930722) × cos(-1.23607933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328501885567217 × 6371000     		do = 100.332931490697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38935516--1.38930722) × cos(-1.23609508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328487009599269 × 6371000     		du = 100.328387987178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23607933)-sin(-1.23609508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328501885567217-0.328487009599269)×R²
    abs(-1.38930722--1.38935516)×1.48759679479138e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48759679479138e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48759679479138e-05×40589641000000     		ar = 10067.5044729639m²