Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36553 / 102603
↖ ↑ ↗
← S 70.796850°
W 79.604187°		 ← 100.46 m → S 70.796850°
W 79.601440°		 →
↑
100.41 m
↓
↑
100.41 m
↓
S 70.797753°
W 79.604187°		 ← 100.46 m →
10 087 m²		 S 70.797753°
W 79.601440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278881072998047 y=0.782802581787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278881072998047 × 217)
    floor (0.278881072998047 × 131072)
    floor (36553.5)     		tx = 36553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782802581787109 × 217)
    floor (0.782802581787109 × 131072)
    floor (102603.5)     		ty = 102603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36553 / 102603 ti = "17/36553/102603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36553/102603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36553 ÷ 217
    36553 ÷ 131072     		x = 0.278877258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102603 ÷ 217
    102603 ÷ 131072     		y = 0.782798767089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278877258300781 × 2 - 1) × π
    -0.442245483398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.38935516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782798767089844 × 2 - 1) × π
    -0.565597534179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.77687705821662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38935516} λ = -1.38935516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77687705821662))-π/2
    2×atan(0.169165617585828)-π/2
    2×0.167579099439584-π/2
    0.335158198879169-1.57079632675     		φ = -1.23563813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38935516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.604187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23563813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.796850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36553 KachelY 102603 -1.38935516 -1.23563813 -79.604187 -70.796850
    Oben rechts KachelX + 1 36554 KachelY 102603 -1.38930722 -1.23563813 -79.601440 -70.796850
    Unten links KachelX 36553 KachelY + 1 102604 -1.38935516 -1.23565389 -79.604187 -70.797753
    Unten rechts KachelX + 1 36554 KachelY + 1 102604 -1.38930722 -1.23565389 -79.601440 -70.797753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23563813--1.23565389) × R
    1.57600000001423e-05 × 6371000     		dl = 100.406960000907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23563813--1.23565389) × R
    1.57600000001423e-05 × 6371000     		dr = 100.406960000907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38935516--1.38930722) × cos(-1.23563813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328918568443406 × 6371000     		do = 100.460197166502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38935516--1.38930722) × cos(-1.23565389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328903685315946 × 6371000     		du = 100.455651476284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23563813)-sin(-1.23565389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328918568443406-0.328903685315946)×R²
    abs(-1.38930722--1.38935516)×1.48831274598971e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48831274598971e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48831274598971e-05×40589641000000     		ar = 10086.6747892699m²