Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36552 / 102634
↖ ↑ ↗
← S 70.824835°
W 79.606934°		 ← 100.32 m → S 70.824835°
W 79.604187°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
S 70.825738°
W 79.606934°		 ← 100.31 m →
10 066 m²		 S 70.825738°
W 79.604187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278873443603516 y=0.783039093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278873443603516 × 217)
    floor (0.278873443603516 × 131072)
    floor (36552.5)     		tx = 36552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783039093017578 × 217)
    floor (0.783039093017578 × 131072)
    floor (102634.5)     		ty = 102634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36552 / 102634 ti = "17/36552/102634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36552/102634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36552 ÷ 217
    36552 ÷ 131072     		x = 0.27886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102634 ÷ 217
    102634 ÷ 131072     		y = 0.783035278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38940310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783035278320312 × 2 - 1) × π
    -0.566070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77836310210484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38940310} λ = -1.38940310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77836310210484))-π/2
    2×atan(0.16891441674768)-π/2
    2×0.167334877139388-π/2
    0.334669754278776-1.57079632675     		φ = -1.23612657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38940310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.606934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23612657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.824835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36552 KachelY 102634 -1.38940310 -1.23612657 -79.606934 -70.824835
    Oben rechts KachelX + 1 36553 KachelY 102634 -1.38935516 -1.23612657 -79.604187 -70.824835
    Unten links KachelX 36552 KachelY + 1 102635 -1.38940310 -1.23614232 -79.606934 -70.825738
    Unten rechts KachelX + 1 36553 KachelY + 1 102635 -1.38935516 -1.23614232 -79.604187 -70.825738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23612657--1.23614232) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23612657--1.23614232) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38940310--1.38935516) × cos(-1.23612657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328457266864109 × 6371000     		do = 100.319303790282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38940310--1.38935516) × cos(-1.23614232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328442390651768 × 6371000     		du = 100.31476021212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23612657)-sin(-1.23614232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328457266864109-0.328442390651768)×R²
    abs(-1.38935516--1.38940310)×1.48762123410306e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48762123410306e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48762123410306e-05×40589641000000     		ar = 10066.1370216287m²