Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36551 / 102999
↖ ↑ ↗
← S 71.151407°
W 79.609680°		 ← 98.67 m → S 71.151407°
W 79.606934°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
S 71.152295°
W 79.609680°		 ← 98.67 m →
9 738 m²		 S 71.152295°
W 79.606934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278865814208984 y=0.785823822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278865814208984 × 217)
    floor (0.278865814208984 × 131072)
    floor (36551.5)     		tx = 36551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785823822021484 × 217)
    floor (0.785823822021484 × 131072)
    floor (102999.5)     		ty = 102999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36551 / 102999 ti = "17/36551/102999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36551/102999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36551 ÷ 217
    36551 ÷ 131072     		x = 0.278861999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102999 ÷ 217
    102999 ÷ 131072     		y = 0.785820007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278861999511719 × 2 - 1) × π
    -0.442276000976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.38945104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785820007324219 × 2 - 1) × π
    -0.571640014648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79586007046616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38945104} λ = -1.38945104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79586007046616))-π/2
    2×atan(0.165984632457839)-π/2
    2×0.164485003257769-π/2
    0.328970006515538-1.57079632675     		φ = -1.24182632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38945104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.609680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24182632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.151407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36551 KachelY 102999 -1.38945104 -1.24182632 -79.609680 -71.151407
    Oben rechts KachelX + 1 36552 KachelY 102999 -1.38940310 -1.24182632 -79.606934 -71.151407
    Unten links KachelX 36551 KachelY + 1 103000 -1.38945104 -1.24184181 -79.609680 -71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 36552 KachelY + 1 103000 -1.38940310 -1.24184181 -79.606934 -71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24182632--1.24184181) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24182632--1.24184181) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38945104--1.38940310) × cos(-1.24182632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323068439495244 × 6371000     		do = 98.6734172034153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38945104--1.38940310) × cos(-1.24184181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 98.6689398462813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24182632)-sin(-1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323068439495244-0.323053780098383)×R²
    abs(-1.38940310--1.38945104)×1.46593968602393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46593968602393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46593968602393e-05×40589641000000     		ar = 9737.54187439568m²