Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36551 / 102600
↖ ↑ ↗
← S 70.794139°
W 79.609680°		 ← 100.47 m → S 70.794139°
W 79.606934°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
S 70.795043°
W 79.609680°		 ← 100.47 m →
10 094 m²		 S 70.795043°
W 79.606934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278865814208984 y=0.782779693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278865814208984 × 217)
    floor (0.278865814208984 × 131072)
    floor (36551.5)     		tx = 36551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782779693603516 × 217)
    floor (0.782779693603516 × 131072)
    floor (102600.5)     		ty = 102600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36551 / 102600 ti = "17/36551/102600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36551/102600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36551 ÷ 217
    36551 ÷ 131072     		x = 0.278861999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102600 ÷ 217
    102600 ÷ 131072     		y = 0.78277587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278861999511719 × 2 - 1) × π
    -0.442276000976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.38945104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.5655517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77673324751776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38945104} λ = -1.38945104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77673324751776))-π/2
    2×atan(0.1691899471609)-π/2
    2×0.167602752050395-π/2
    0.335205504100791-1.57079632675     		φ = -1.23559082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38945104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.609680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23559082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.794139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36551 KachelY 102600 -1.38945104 -1.23559082 -79.609680 -70.794139
    Oben rechts KachelX + 1 36552 KachelY 102600 -1.38940310 -1.23559082 -79.606934 -70.794139
    Unten links KachelX 36551 KachelY + 1 102601 -1.38945104 -1.23560659 -79.609680 -70.795043
    Unten rechts KachelX + 1 36552 KachelY + 1 102601 -1.38940310 -1.23560659 -79.606934 -70.795043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23559082--1.23560659) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dl = 100.470669999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23559082--1.23560659) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dr = 100.470669999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38945104--1.38940310) × cos(-1.23559082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328963245665876 × 6371000     		do = 100.473842740236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38945104--1.38940310) × cos(-1.23560659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328948353340192 × 6371000     		du = 100.469294240644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23559082)-sin(-1.23560659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328963245665876-0.328948353340192)×R²
    abs(-1.38940310--1.38945104)×1.48923256840794e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48923256840794e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48923256840794e-05×40589641000000     		ar = 10094.4458022644m²