Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36550 / 102992
↖ ↑ ↗
← S 71.145194°
W 79.612427°		 ← 98.68 m → S 71.145194°
W 79.609680°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.146083°
W 79.612427°		 ← 98.68 m →
9 745 m²		 S 71.146083°
W 79.609680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278858184814453 y=0.785770416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278858184814453 × 217)
    floor (0.278858184814453 × 131072)
    floor (36550.5)     		tx = 36550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785770416259766 × 217)
    floor (0.785770416259766 × 131072)
    floor (102992.5)     		ty = 102992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36550 / 102992 ti = "17/36550/102992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36550/102992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36550 ÷ 217
    36550 ÷ 131072     		x = 0.278854370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102992 ÷ 217
    102992 ÷ 131072     		y = 0.7857666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278854370117188 × 2 - 1) × π
    -0.442291259765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38949897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7857666015625 × 2 - 1) × π
    -0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38949897} λ = -1.38949897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79552451216882))-π/2
    2×atan(0.166040339324419)-π/2
    2×0.164539216012918-π/2
    0.329078432025836-1.57079632675     		φ = -1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38949897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.612427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36550 KachelY 102992 -1.38949897 -1.24171789 -79.612427 -71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 36551 KachelY 102992 -1.38945104 -1.24171789 -79.609680 -71.145194
    Unten links KachelX 36550 KachelY + 1 102993 -1.38949897 -1.24173339 -79.612427 -71.146083
    Unten rechts KachelX + 1 36551 KachelY + 1 102993 -1.38945104 -1.24173339 -79.609680 -71.146083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24171789--1.24173339) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dl = 98.7504999996567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24171789--1.24173339) × R
    1.54999999999461e-05 × 6371000     		dr = 98.7504999996567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38949897--1.38945104) × cos(-1.24171789) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 98.6841688127052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38949897--1.38945104) × cos(-1.24173339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323156384784968 × 6371000     		du = 98.6796896654593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24171789)-sin(-1.24173339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323156384784968)×R²
    abs(-1.38945104--1.38949897)×1.46683176225904e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46683176225904e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46683176225904e-05×40589641000000     		ar = 9744.88985339724m²