Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3655 / 2443
↖ ↑ ↗
← N 58.562523°
W 19.379883°		 ← 2 548.64 m → N 58.562523°
W 19.335937°		 →
↑
2 549.48 m
↓
↑
2 549.48 m
↓
N 58.539595°
W 19.379883°		 ← 2 550.31 m →
6 499 835 m²		 N 58.539595°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44622802734375 y=0.29827880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44622802734375 × 213)
    floor (0.44622802734375 × 8192)
    floor (3655.5)     		tx = 3655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29827880859375 × 213)
    floor (0.29827880859375 × 8192)
    floor (2443.5)     		ty = 2443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3655 / 2443 ti = "13/3655/2443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3655/2443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3655 ÷ 213
    3655 ÷ 8192     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2443 ÷ 213
    2443 ÷ 8192     		y = 0.2982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2982177734375 × 2 - 1) × π
    0.403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26783512115125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26783512115125))-π/2
    2×atan(3.55315208626613)-π/2
    2×1.29645258333149-π/2
    2.59290516666299-1.57079632675     		φ = 1.02210884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02210884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.562523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3655 KachelY 2443 -0.33824276 1.02210884 -19.379883 58.562523
    Oben rechts KachelX + 1 3656 KachelY 2443 -0.33747577 1.02210884 -19.335937 58.562523
    Unten links KachelX 3655 KachelY + 1 2444 -0.33824276 1.02170867 -19.379883 58.539595
    Unten rechts KachelX + 1 3656 KachelY + 1 2444 -0.33747577 1.02170867 -19.335937 58.539595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02210884-1.02170867) × R
    0.000400170000000033 × 6371000     		dl = 2549.48307000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02210884-1.02170867) × R
    0.000400170000000033 × 6371000     		dr = 2549.48307000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33747577) × cos(1.02210884) × R
    0.000766989999999967 × 0.521567829344844 × 6371000     		do = 2548.63769837334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33747577) × cos(1.02170867) × R
    0.000766989999999967 × 0.521909216549075 × 6371000     		du = 2550.3058846561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02210884)-sin(1.02170867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521567829344844-0.521909216549075)×R²
    abs(-0.33747577--0.33824276)×0.000341387204231047×R²
    0.000766989999999967×0.000341387204231047×6371000²
    0.000766989999999967×0.000341387204231047×40589641000000     		ar = 6499835.25664951m²