Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36549 / 102991
↖ ↑ ↗
← S 71.144307°
W 79.615173°		 ← 98.71 m → S 71.144307°
W 79.612427°		 →
↑
98.69 m
↓
↑
98.69 m
↓
S 71.145194°
W 79.615173°		 ← 98.70 m →
9 741 m²		 S 71.145194°
W 79.612427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278850555419922 y=0.785762786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278850555419922 × 217)
    floor (0.278850555419922 × 131072)
    floor (36549.5)     		tx = 36549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785762786865234 × 217)
    floor (0.785762786865234 × 131072)
    floor (102991.5)     		ty = 102991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36549 / 102991 ti = "17/36549/102991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36549/102991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36549 ÷ 217
    36549 ÷ 131072     		x = 0.278846740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102991 ÷ 217
    102991 ÷ 131072     		y = 0.785758972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278846740722656 × 2 - 1) × π
    -0.442306518554688 × 3.1415926535     		Λ = -1.38954691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785758972167969 × 2 - 1) × π
    -0.571517944335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.7954765752692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38954691} λ = -1.38954691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7954765752692))-π/2
    2×atan(0.166048298974277)-π/2
    2×0.164546962097674-π/2
    0.329093924195348-1.57079632675     		φ = -1.24170240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38954691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.615173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24170240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.144307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36549 KachelY 102991 -1.38954691 -1.24170240 -79.615173 -71.144307
    Oben rechts KachelX + 1 36550 KachelY 102991 -1.38949897 -1.24170240 -79.612427 -71.144307
    Unten links KachelX 36549 KachelY + 1 102992 -1.38954691 -1.24171789 -79.615173 -71.145194
    Unten rechts KachelX + 1 36550 KachelY + 1 102992 -1.38949897 -1.24171789 -79.612427 -71.145194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24170240--1.24171789) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dl = 98.6867900000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24170240--1.24171789) × R
    1.54900000000069e-05 × 6371000     		dr = 98.6867900000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38954691--1.38949897) × cos(-1.24170240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323185711879216 × 6371000     		do = 98.7092352080715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38954691--1.38949897) × cos(-1.24171789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32317105310259 × 6371000     		du = 98.7047580403732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24170240)-sin(-1.24171789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323185711879216-0.32317105310259)×R²
    abs(-1.38949897--1.38954691)×1.46587766252093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46587766252093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46587766252093e-05×40589641000000     		ar = 9741.07664762126m²