Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36546 / 28470
↖ ↑ ↗
← N 70.795946°
W 79.623413°		 ← 100.46 m → N 70.795946°
W 79.620666°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
N 70.795043°
W 79.623413°		 ← 100.47 m →
10 094 m²		 N 70.795043°
W 79.620666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278827667236328 y=0.217212677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278827667236328 × 217)
    floor (0.278827667236328 × 131072)
    floor (36546.5)     		tx = 36546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217212677001953 × 217)
    floor (0.217212677001953 × 131072)
    floor (28470.5)     		ty = 28470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36546 / 28470 ti = "17/36546/28470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36546/28470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36546 ÷ 217
    36546 ÷ 131072     		x = 0.278823852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28470 ÷ 217
    28470 ÷ 131072     		y = 0.217208862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278823852539062 × 2 - 1) × π
    -0.442352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38969072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217208862304688 × 2 - 1) × π
    0.565582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.776829121317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38969072} λ = -1.38969072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.776829121317))-π/2
    2×atan(5.9110833425829)-π/2
    2×1.40320934350862-π/2
    2.80641868701724-1.57079632675     		φ = 1.23562236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38969072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.623413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23562236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.795946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36546 KachelY 28470 -1.38969072 1.23562236 -79.623413 70.795946
    Oben rechts KachelX + 1 36547 KachelY 28470 -1.38964278 1.23562236 -79.620666 70.795946
    Unten links KachelX 36546 KachelY + 1 28471 -1.38969072 1.23560659 -79.623413 70.795043
    Unten rechts KachelX + 1 36547 KachelY + 1 28471 -1.38964278 1.23560659 -79.620666 70.795043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23562236-1.23560659) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dl = 100.47067000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23562236-1.23560659) × R
    1.57700000000816e-05 × 6371000     		dr = 100.47067000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38969072--1.38964278) × cos(1.23562236) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3289334609327 × 6371000     		do = 100.464745716065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38969072--1.38964278) × cos(1.23560659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328948353340192 × 6371000     		du = 100.469294240644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23562236)-sin(1.23560659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3289334609327-0.328948353340192)×R²
    abs(-1.38964278--1.38969072)×1.48924074914181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48924074914181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48924074914181e-05×40589641000000     		ar = 10093.9888102841m²