Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36546 / 102594
↖ ↑ ↗
← S 70.788717°
W 79.623413°		 ← 100.50 m → S 70.788717°
W 79.620666°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 70.789621°
W 79.623413°		 ← 100.50 m →
10 104 m²		 S 70.789621°
W 79.620666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278827667236328 y=0.782733917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278827667236328 × 217)
    floor (0.278827667236328 × 131072)
    floor (36546.5)     		tx = 36546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782733917236328 × 217)
    floor (0.782733917236328 × 131072)
    floor (102594.5)     		ty = 102594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36546 / 102594 ti = "17/36546/102594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36546/102594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36546 ÷ 217
    36546 ÷ 131072     		x = 0.278823852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102594 ÷ 217
    102594 ÷ 131072     		y = 0.782730102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278823852539062 × 2 - 1) × π
    -0.442352294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38969072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782730102539062 × 2 - 1) × π
    -0.565460205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77644562612004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38969072} λ = -1.38969072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77644562612004))-π/2
    2×atan(0.169238616808864)-π/2
    2×0.167650066909596-π/2
    0.335300133819192-1.57079632675     		φ = -1.23549619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38969072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.623413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23549619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.788717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36546 KachelY 102594 -1.38969072 -1.23549619 -79.623413 -70.788717
    Oben rechts KachelX + 1 36547 KachelY 102594 -1.38964278 -1.23549619 -79.620666 -70.788717
    Unten links KachelX 36546 KachelY + 1 102595 -1.38969072 -1.23551197 -79.623413 -70.789621
    Unten rechts KachelX + 1 36547 KachelY + 1 102595 -1.38964278 -1.23551197 -79.620666 -70.789621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23549619--1.23551197) × R
    1.57799999997987e-05 × 6371000     		dl = 100.534379998718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23549619--1.23551197) × R
    1.57799999997987e-05 × 6371000     		dr = 100.534379998718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38969072--1.38964278) × cos(-1.23549619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32905260734494 × 6371000     		do = 100.501136097192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38969072--1.38964278) × cos(-1.23551197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.329037706067061 × 6371000     		du = 100.496584863369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23549619)-sin(-1.23551197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32905260734494-0.329037706067061)×R²
    abs(-1.38964278--1.38969072)×1.49012778794533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49012778794533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49012778794533e-05×40589641000000     		ar = 10103.5906292475m²