Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36545 / 102977
↖ ↑ ↗
← S 71.131876°
W 79.626160°		 ← 98.77 m → S 71.131876°
W 79.623413°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.132764°
W 79.626160°		 ← 98.77 m →
9 754 m²		 S 71.132764°
W 79.623413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278820037841797 y=0.785655975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278820037841797 × 217)
    floor (0.278820037841797 × 131072)
    floor (36545.5)     		tx = 36545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785655975341797 × 217)
    floor (0.785655975341797 × 131072)
    floor (102977.5)     		ty = 102977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36545 / 102977 ti = "17/36545/102977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36545/102977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36545 ÷ 217
    36545 ÷ 131072     		x = 0.278816223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102977 ÷ 217
    102977 ÷ 131072     		y = 0.785652160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278816223144531 × 2 - 1) × π
    -0.442367553710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.38973866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785652160644531 × 2 - 1) × π
    -0.571304321289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.79480545867452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38973866} λ = -1.38973866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79480545867452))-π/2
    2×atan(0.166159774145472)-π/2
    2×0.164655444188123-π/2
    0.329310888376247-1.57079632675     		φ = -1.24148544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38973866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.626160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24148544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.131876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36545 KachelY 102977 -1.38973866 -1.24148544 -79.626160 -71.131876
    Oben rechts KachelX + 1 36546 KachelY 102977 -1.38969072 -1.24148544 -79.623413 -71.131876
    Unten links KachelX 36545 KachelY + 1 102978 -1.38973866 -1.24150094 -79.626160 -71.132764
    Unten rechts KachelX + 1 36546 KachelY + 1 102978 -1.38969072 -1.24150094 -79.623413 -71.132764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24148544--1.24150094) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dl = 98.7505000010713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24148544--1.24150094) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dr = 98.7505000010713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38973866--1.38969072) × cos(-1.24148544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323391021234665 × 6371000     		do = 98.7719419698884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38973866--1.38969072) × cos(-1.24150094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323376354081789 × 6371000     		du = 98.7674622438677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24148544)-sin(-1.24150094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323391021234665-0.323376354081789)×R²
    abs(-1.38969072--1.38973866)×1.46671528757358e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46671528757358e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46671528757358e-05×40589641000000     		ar = 9753.55746827384m²