Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36543 / 39193
↖ ↑ ↗
← S 33.252470°
E 20.736694°		 ← 510.83 m → S 33.252470°
E 20.742188°		 →
↑
510.83 m
↓
↑
510.83 m
↓
S 33.257064°
E 20.736694°		 ← 510.81 m →
260 940 m²		 S 33.257064°
E 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557609558105469 y=0.598045349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557609558105469 × 216)
    floor (0.557609558105469 × 65536)
    floor (36543.5)     		tx = 36543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598045349121094 × 216)
    floor (0.598045349121094 × 65536)
    floor (39193.5)     		ty = 39193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36543 / 39193 ti = "16/36543/39193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36543/39193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36543 ÷ 216
    36543 ÷ 65536     		x = 0.557601928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39193 ÷ 216
    39193 ÷ 65536     		y = 0.598037719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557601928710938 × 2 - 1) × π
    0.115203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36192359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598037719726562 × 2 - 1) × π
    -0.196075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.615989160117722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36192359} λ = 0.36192359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615989160117722))-π/2
    2×atan(0.540106379302208)-π/2
    2×0.495215622225669-π/2
    0.990431244451338-1.57079632675     		φ = -0.58036508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36192359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.736694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58036508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.252470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36543 KachelY 39193 0.36192359 -0.58036508 20.736694 -33.252470
    Oben rechts KachelX + 1 36544 KachelY 39193 0.36201947 -0.58036508 20.742188 -33.252470
    Unten links KachelX 36543 KachelY + 1 39194 0.36192359 -0.58044526 20.736694 -33.257064
    Unten rechts KachelX + 1 36544 KachelY + 1 39194 0.36201947 -0.58044526 20.742188 -33.257064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58036508--0.58044526) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dl = 510.826779999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58036508--0.58044526) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dr = 510.826779999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36192359-0.36201947) × cos(-0.58036508) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.836262521597492 × 6371000     		do = 510.832198986321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36192359-0.36201947) × cos(-0.58044526) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.83621855386809 × 6371000     		du = 510.805341233743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58036508)-sin(-0.58044526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836262521597492-0.83621855386809)×R²
    abs(0.36201947-0.36192359)×4.39677294022944e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39677294022944e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39677294022944e-05×40589641000000     		ar = 260939.90763896m²