Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36542 / 39263
↖ ↑ ↗
← S 33.573438°
E 20.731201°		 ← 508.89 m → S 33.573438°
E 20.736694°		 →
↑
508.85 m
↓
↑
508.85 m
↓
S 33.578015°
E 20.731201°		 ← 508.87 m →
258 945 m²		 S 33.578015°
E 20.736694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557594299316406 y=0.599113464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557594299316406 × 216)
    floor (0.557594299316406 × 65536)
    floor (36542.5)     		tx = 36542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599113464355469 × 216)
    floor (0.599113464355469 × 65536)
    floor (39263.5)     		ty = 39263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36542 / 39263 ti = "16/36542/39263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36542/39263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36542 ÷ 216
    36542 ÷ 65536     		x = 0.557586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39263 ÷ 216
    39263 ÷ 65536     		y = 0.599105834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557586669921875 × 2 - 1) × π
    0.11517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36182772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599105834960938 × 2 - 1) × π
    -0.198211669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.622700326064529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36182772} λ = 0.36182772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622700326064529))-π/2
    2×atan(0.53649377172549)-π/2
    2×0.492414645500097-π/2
    0.984829291000194-1.57079632675     		φ = -0.58596704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36182772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.731201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58596704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.573438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36542 KachelY 39263 0.36182772 -0.58596704 20.731201 -33.573438
    Oben rechts KachelX + 1 36543 KachelY 39263 0.36192359 -0.58596704 20.736694 -33.573438
    Unten links KachelX 36542 KachelY + 1 39264 0.36182772 -0.58604691 20.731201 -33.578015
    Unten rechts KachelX + 1 36543 KachelY + 1 39264 0.36192359 -0.58604691 20.736694 -33.578015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58596704--0.58604691) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000     		dl = 508.851769999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58596704--0.58604691) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000     		dr = 508.851769999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36182772-0.36192359) × cos(-0.58596704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83317769724986 × 6371000     		do = 508.894747716966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36182772-0.36192359) × cos(-0.58604691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833133526054537 × 6371000     		du = 508.867768491077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58596704)-sin(-0.58604691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83317769724986-0.833133526054537)×R²
    abs(0.36192359-0.36182772)×4.41711953226287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41711953226287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41711953226287e-05×40589641000000     		ar = 258945.129043878m²