Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36542 / 39261
↖ ↑ ↗
← S 33.564284°
E 20.731201°		 ← 508.95 m → S 33.564284°
E 20.736694°		 →
↑
508.92 m
↓
↑
508.92 m
↓
S 33.568861°
E 20.731201°		 ← 508.92 m →
259 005 m²		 S 33.568861°
E 20.736694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557594299316406 y=0.599082946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557594299316406 × 216)
    floor (0.557594299316406 × 65536)
    floor (36542.5)     		tx = 36542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599082946777344 × 216)
    floor (0.599082946777344 × 65536)
    floor (39261.5)     		ty = 39261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36542 / 39261 ti = "16/36542/39261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36542/39261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36542 ÷ 216
    36542 ÷ 65536     		x = 0.557586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39261 ÷ 216
    39261 ÷ 65536     		y = 0.599075317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557586669921875 × 2 - 1) × π
    0.11517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36182772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599075317382812 × 2 - 1) × π
    -0.198150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.622508578466049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36182772} λ = 0.36182772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622508578466049))-π/2
    2×atan(0.53659665298112)-π/2
    2×0.492494529646538-π/2
    0.984989059293076-1.57079632675     		φ = -0.58580727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36182772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.731201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58580727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.564284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36542 KachelY 39261 0.36182772 -0.58580727 20.731201 -33.564284
    Oben rechts KachelX + 1 36543 KachelY 39261 0.36192359 -0.58580727 20.736694 -33.564284
    Unten links KachelX 36542 KachelY + 1 39262 0.36182772 -0.58588715 20.731201 -33.568861
    Unten rechts KachelX + 1 36543 KachelY + 1 39262 0.36192359 -0.58588715 20.736694 -33.568861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58580727--0.58588715) × R
    7.98800000000321e-05 × 6371000     		dl = 508.915480000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58580727--0.58588715) × R
    7.98800000000321e-05 × 6371000     		dr = 508.915480000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36182772-0.36192359) × cos(-0.58580727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833266040281327 × 6371000     		do = 508.948706560151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36182772-0.36192359) × cos(-0.58588715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833221874188937 × 6371000     		du = 508.92173045107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58580727)-sin(-0.58588715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833266040281327-0.833221874188937)×R²
    abs(0.36192359-0.36182772)×4.41660923896636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41660923896636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41660923896636e-05×40589641000000     		ar = 259005.011152511m²