Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36542 / 39194
↖ ↑ ↗
← S 33.257064°
E 20.731201°		 ← 510.75 m → S 33.257064°
E 20.736694°		 →
↑
510.76 m
↓
↑
510.76 m
↓
S 33.261657°
E 20.731201°		 ← 510.73 m →
260 866 m²		 S 33.261657°
E 20.736694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557594299316406 y=0.598060607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557594299316406 × 216)
    floor (0.557594299316406 × 65536)
    floor (36542.5)     		tx = 36542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598060607910156 × 216)
    floor (0.598060607910156 × 65536)
    floor (39194.5)     		ty = 39194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36542 / 39194 ti = "16/36542/39194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36542/39194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36542 ÷ 216
    36542 ÷ 65536     		x = 0.557586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39194 ÷ 216
    39194 ÷ 65536     		y = 0.598052978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557586669921875 × 2 - 1) × π
    0.11517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36182772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.19610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.616085033916962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36182772} λ = 0.36182772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.616085033916962))-π/2
    2×atan(0.540054599733822)-π/2
    2×0.495175535446918-π/2
    0.990351070893836-1.57079632675     		φ = -0.58044526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36182772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.731201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58044526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.257064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36542 KachelY 39194 0.36182772 -0.58044526 20.731201 -33.257064
    Oben rechts KachelX + 1 36543 KachelY 39194 0.36192359 -0.58044526 20.736694 -33.257064
    Unten links KachelX 36542 KachelY + 1 39195 0.36182772 -0.58052543 20.731201 -33.261657
    Unten rechts KachelX + 1 36543 KachelY + 1 39195 0.36192359 -0.58052543 20.736694 -33.261657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58044526--0.58052543) × R
    8.0170000000046e-05 × 6371000     		dl = 510.763070000293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58044526--0.58052543) × R
    8.0170000000046e-05 × 6371000     		dr = 510.763070000293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36182772-0.36192359) × cos(-0.58044526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83621855386809 × 6371000     		do = 510.752065749704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36182772-0.36192359) × cos(-0.58052543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836174586247413 × 6371000     		du = 510.725210864719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58044526)-sin(-0.58052543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83621855386809-0.836174586247413)×R²
    abs(0.36192359-0.36182772)×4.39676206774875e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39676206774875e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39676206774875e-05×40589641000000     		ar = 260866.435009326m²