Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36541 / 39270
↖ ↑ ↗
← S 33.605470°
E 20.725708°		 ← 508.76 m → S 33.605470°
E 20.731201°		 →
↑
508.72 m
↓
↑
508.72 m
↓
S 33.610045°
E 20.725708°		 ← 508.73 m →
258 811 m²		 S 33.610045°
E 20.731201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557579040527344 y=0.599220275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557579040527344 × 216)
    floor (0.557579040527344 × 65536)
    floor (36541.5)     		tx = 36541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599220275878906 × 216)
    floor (0.599220275878906 × 65536)
    floor (39270.5)     		ty = 39270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36541 / 39270 ti = "16/36541/39270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36541/39270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36541 ÷ 216
    36541 ÷ 65536     		x = 0.557571411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39270 ÷ 216
    39270 ÷ 65536     		y = 0.599212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557571411132812 × 2 - 1) × π
    0.115142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36173184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.19842529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62337144265921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36173184} λ = 0.36173184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62337144265921))-π/2
    2×atan(0.536133842643041)-π/2
    2×0.492135117698345-π/2
    0.984270235396689-1.57079632675     		φ = -0.58652609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36173184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.725708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58652609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.605470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36541 KachelY 39270 0.36173184 -0.58652609 20.725708 -33.605470
    Oben rechts KachelX + 1 36542 KachelY 39270 0.36182772 -0.58652609 20.731201 -33.605470
    Unten links KachelX 36541 KachelY + 1 39271 0.36173184 -0.58660594 20.725708 -33.610045
    Unten rechts KachelX + 1 36542 KachelY + 1 39271 0.36182772 -0.58660594 20.731201 -33.610045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58652609--0.58660594) × R
    7.98499999999924e-05 × 6371000     		dl = 508.724349999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58652609--0.58660594) × R
    7.98499999999924e-05 × 6371000     		dr = 508.724349999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36173184-0.36182772) × cos(-0.58652609) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832868409421781 × 6371000     		do = 508.758900540502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36173184-0.36182772) × cos(-0.58660594) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832824212102614 × 6371000     		du = 508.731902542676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58652609)-sin(-0.58660594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832868409421781-0.832824212102614)×R²
    abs(0.36182772-0.36173184)×4.41973191673828e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41973191673828e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41973191673828e-05×40589641000000     		ar = 258811.173852373m²