Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36540 / 39191
↖ ↑ ↗
← S 33.243282°
E 20.720215°		 ← 510.83 m → S 33.243282°
E 20.725708°		 →
↑
510.83 m
↓
↑
510.83 m
↓
S 33.247876°
E 20.720215°		 ← 510.81 m →
260 940 m²		 S 33.247876°
E 20.725708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557563781738281 y=0.598014831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557563781738281 × 216)
    floor (0.557563781738281 × 65536)
    floor (36540.5)     		tx = 36540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598014831542969 × 216)
    floor (0.598014831542969 × 65536)
    floor (39191.5)     		ty = 39191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36540 / 39191 ti = "16/36540/39191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36540/39191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36540 ÷ 216
    36540 ÷ 65536     		x = 0.55755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39191 ÷ 216
    39191 ÷ 65536     		y = 0.598007202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55755615234375 × 2 - 1) × π
    0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598007202148438 × 2 - 1) × π
    -0.196014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.615797412519241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36163597} λ = 0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615797412519241))-π/2
    2×atan(0.540209953333082)-π/2
    2×0.495295802105325-π/2
    0.990591604210651-1.57079632675     		φ = -0.58020472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58020472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.243282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36540 KachelY 39191 0.36163597 -0.58020472 20.720215 -33.243282
    Oben rechts KachelX + 1 36541 KachelY 39191 0.36173184 -0.58020472 20.725708 -33.243282
    Unten links KachelX 36540 KachelY + 1 39192 0.36163597 -0.58028490 20.720215 -33.247876
    Unten rechts KachelX + 1 36541 KachelY + 1 39192 0.36173184 -0.58028490 20.725708 -33.247876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58020472--0.58028490) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dl = 510.826779999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58020472--0.58028490) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dr = 510.826779999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36163597-0.36173184) × cos(-0.58020472) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.836350440927439 × 6371000     		do = 510.832620752872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36163597-0.36173184) × cos(-0.58028490) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.836306483950703 × 6371000     		du = 510.805772369075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58020472)-sin(-0.58028490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836350440927439-0.836306483950703)×R²
    abs(0.36173184-0.36163597)×4.39569767364256e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.39569767364256e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.39569767364256e-05×40589641000000     		ar = 260940.125481129m²