Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36540 / 38083
↖ ↑ ↗
← S 28.008952°
E 20.720215°		 ← 539.25 m → S 28.008952°
E 20.725708°		 →
↑
539.24 m
↓
↑
539.24 m
↓
S 28.013801°
E 20.720215°		 ← 539.22 m →
290 779 m²		 S 28.013801°
E 20.725708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557563781738281 y=0.581108093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557563781738281 × 216)
    floor (0.557563781738281 × 65536)
    floor (36540.5)     		tx = 36540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581108093261719 × 216)
    floor (0.581108093261719 × 65536)
    floor (38083.5)     		ty = 38083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36540 / 38083 ti = "16/36540/38083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36540/38083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36540 ÷ 216
    36540 ÷ 65536     		x = 0.55755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38083 ÷ 216
    38083 ÷ 65536     		y = 0.581100463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55755615234375 × 2 - 1) × π
    0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581100463867188 × 2 - 1) × π
    -0.162200927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509569242961197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36163597} λ = 0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509569242961197))-π/2
    2×atan(0.600754302229075)-π/2
    2×0.540973949695818-π/2
    1.08194789939164-1.57079632675     		φ = -0.48884843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48884843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.008952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36540 KachelY 38083 0.36163597 -0.48884843 20.720215 -28.008952
    Oben rechts KachelX + 1 36541 KachelY 38083 0.36173184 -0.48884843 20.725708 -28.008952
    Unten links KachelX 36540 KachelY + 1 38084 0.36163597 -0.48893307 20.720215 -28.013801
    Unten rechts KachelX + 1 36541 KachelY + 1 38084 0.36173184 -0.48893307 20.725708 -28.013801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48884843--0.48893307) × R
    8.46400000000247e-05 × 6371000     		dl = 539.241440000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48884843--0.48893307) × R
    8.46400000000247e-05 × 6371000     		dr = 539.241440000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36163597-0.36173184) × cos(-0.48884843) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.882874232107702 × 6371000     		do = 539.248783419826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36163597-0.36173184) × cos(-0.48893307) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.882834481196543 × 6371000     		du = 539.224504049444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48884843)-sin(-0.48893307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882874232107702-0.882834481196543)×R²
    abs(0.36173184-0.36163597)×3.97509111589311e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.97509111589311e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.97509111589311e-05×40589641000000     		ar = 290778.744442003m²