Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36540 / 102651
↖ ↑ ↗
← S 70.840166°
W 79.639892°		 ← 100.24 m → S 70.840166°
W 79.637146°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
S 70.841067°
W 79.639892°		 ← 100.24 m →
10 046 m²		 S 70.841067°
W 79.637146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278781890869141 y=0.783168792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278781890869141 × 217)
    floor (0.278781890869141 × 131072)
    floor (36540.5)     		tx = 36540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783168792724609 × 217)
    floor (0.783168792724609 × 131072)
    floor (102651.5)     		ty = 102651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36540 / 102651 ti = "17/36540/102651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36540/102651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36540 ÷ 217
    36540 ÷ 131072     		x = 0.278778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102651 ÷ 217
    102651 ÷ 131072     		y = 0.783164978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.44244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38997834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783164978027344 × 2 - 1) × π
    -0.566329956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.77917802939838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38997834} λ = -1.38997834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77917802939838))-π/2
    2×atan(0.168776819852547)-π/2
    2×0.167201094240091-π/2
    0.334402188480182-1.57079632675     		φ = -1.23639414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38997834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.639892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23639414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.840166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36540 KachelY 102651 -1.38997834 -1.23639414 -79.639892 -70.840166
    Oben rechts KachelX + 1 36541 KachelY 102651 -1.38993040 -1.23639414 -79.637146 -70.840166
    Unten links KachelX 36540 KachelY + 1 102652 -1.38997834 -1.23640987 -79.639892 -70.841067
    Unten rechts KachelX + 1 36541 KachelY + 1 102652 -1.38993040 -1.23640987 -79.637146 -70.841067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23639414--1.23640987) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dl = 100.215829999239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23639414--1.23640987) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dr = 100.215829999239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38997834--1.38993040) × cos(-1.23639414) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.328204530205533 × 6371000     		do = 100.242111509776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38997834--1.38993040) × cos(-1.23640987) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.328189671501799 × 6371000     		du = 100.237573279192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23639414)-sin(-1.23640987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328204530205533-0.328189671501799)×R²
    abs(-1.38993040--1.38997834)×1.48587037336889e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.48587037336889e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.48587037336889e-05×40589641000000     		ar = 10045.6190045723m²