Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3654 / 2268
↖ ↑ ↗
← N 62.349609°
W 19.423828°		 ← 2 267.70 m → N 62.349609°
W 19.379883°		 →
↑
2 268.46 m
↓
↑
2 268.46 m
↓
N 62.329209°
W 19.423828°		 ← 2 269.24 m →
5 145 932 m²		 N 62.329209°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44610595703125 y=0.27691650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44610595703125 × 213)
    floor (0.44610595703125 × 8192)
    floor (3654.5)     		tx = 3654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27691650390625 × 213)
    floor (0.27691650390625 × 8192)
    floor (2268.5)     		ty = 2268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3654 / 2268 ti = "13/3654/2268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3654/2268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3654 ÷ 213
    3654 ÷ 8192     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2268 ÷ 213
    2268 ÷ 8192     		y = 0.27685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27685546875 × 2 - 1) × π
    0.4462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4020584400874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4020584400874))-π/2
    2×atan(4.06355595021395)-π/2
    2×1.3295011479849-π/2
    2.65900229596979-1.57079632675     		φ = 1.08820597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08820597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.349609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3654 KachelY 2268 -0.33900975 1.08820597 -19.423828 62.349609
    Oben rechts KachelX + 1 3655 KachelY 2268 -0.33824276 1.08820597 -19.379883 62.349609
    Unten links KachelX 3654 KachelY + 1 2269 -0.33900975 1.08784991 -19.423828 62.329209
    Unten rechts KachelX + 1 3655 KachelY + 1 2269 -0.33824276 1.08784991 -19.379883 62.329209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08820597-1.08784991) × R
    0.00035605999999988 × 6371000     		dl = 2268.45825999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08820597-1.08784991) × R
    0.00035605999999988 × 6371000     		dr = 2268.45825999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33824276) × cos(1.08820597) × R
    0.000766990000000023 × 0.464075257040907 × 6371000     		do = 2267.70062958549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33824276) × cos(1.08784991) × R
    0.000766990000000023 × 0.464390624060615 × 6371000     		du = 2269.24166841118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08820597)-sin(1.08784991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464075257040907-0.464390624060615)×R²
    abs(-0.33824276--0.33900975)×0.000315367019707746×R²
    0.000766990000000023×0.000315367019707746×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315367019707746×40589641000000     		ar = 5145932.16988169m²