Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3654 / 2245
↖ ↑ ↗
← N 62.815019°
W 19.423828°		 ← 2 232.47 m → N 62.815019°
W 19.379883°		 →
↑
2 233.23 m
↓
↑
2 233.23 m
↓
N 62.794935°
W 19.423828°		 ← 2 233.99 m →
4 987 305 m²		 N 62.794935°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44610595703125 y=0.27410888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44610595703125 × 213)
    floor (0.44610595703125 × 8192)
    floor (3654.5)     		tx = 3654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27410888671875 × 213)
    floor (0.27410888671875 × 8192)
    floor (2245.5)     		ty = 2245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3654 / 2245 ti = "13/3654/2245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3654/2245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3654 ÷ 213
    3654 ÷ 8192     		x = 0.446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2245 ÷ 213
    2245 ÷ 8192     		y = 0.2740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33900975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    0.451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41969921914758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33900975} λ = -0.33900975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41969921914758))-π/2
    2×atan(4.13587626076089)-π/2
    2×1.3335626122177-π/2
    2.66712522443539-1.57079632675     		φ = 1.09632890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33900975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.423828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09632890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.815019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3654 KachelY 2245 -0.33900975 1.09632890 -19.423828 62.815019
    Oben rechts KachelX + 1 3655 KachelY 2245 -0.33824276 1.09632890 -19.379883 62.815019
    Unten links KachelX 3654 KachelY + 1 2246 -0.33900975 1.09597837 -19.423828 62.794935
    Unten rechts KachelX + 1 3655 KachelY + 1 2246 -0.33824276 1.09597837 -19.379883 62.794935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09632890-1.09597837) × R
    0.00035052999999996 × 6371000     		dl = 2233.22662999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09632890-1.09597837) × R
    0.00035052999999996 × 6371000     		dr = 2233.22662999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33900975--0.33824276) × cos(1.09632890) × R
    0.000766990000000023 × 0.456864768867899 × 6371000     		do = 2232.46662751046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33900975--0.33824276) × cos(1.09597837) × R
    0.000766990000000023 × 0.457176549904494 × 6371000     		du = 2233.99014345373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09632890)-sin(1.09597837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456864768867899-0.457176549904494)×R²
    abs(-0.33824276--0.33900975)×0.00031178103659496×R²
    0.000766990000000023×0.00031178103659496×6371000²
    0.000766990000000023×0.00031178103659496×40589641000000     		ar = 4987305.1523971m²