Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36538 / 39230
↖ ↑ ↗
← S 33.422272°
E 20.709228°		 ← 509.84 m → S 33.422272°
E 20.714722°		 →
↑
509.81 m
↓
↑
509.81 m
↓
S 33.426857°
E 20.709228°		 ← 509.81 m →
259 912 m²		 S 33.426857°
E 20.714722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557533264160156 y=0.598609924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557533264160156 × 216)
    floor (0.557533264160156 × 65536)
    floor (36538.5)     		tx = 36538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598609924316406 × 216)
    floor (0.598609924316406 × 65536)
    floor (39230.5)     		ty = 39230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36538 / 39230 ti = "16/36538/39230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36538/39230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36538 ÷ 216
    36538 ÷ 65536     		x = 0.557525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39230 ÷ 216
    39230 ÷ 65536     		y = 0.598602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557525634765625 × 2 - 1) × π
    0.11505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36144422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.19720458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.619536490689606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36144422} λ = 0.36144422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619536490689606))-π/2
    2×atan(0.538193837645132)-π/2
    2×0.493733816197251-π/2
    0.987467632394501-1.57079632675     		φ = -0.58332869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36144422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.709228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58332869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.422272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36538 KachelY 39230 0.36144422 -0.58332869 20.709228 -33.422272
    Oben rechts KachelX + 1 36539 KachelY 39230 0.36154010 -0.58332869 20.714722 -33.422272
    Unten links KachelX 36538 KachelY + 1 39231 0.36144422 -0.58340871 20.709228 -33.426857
    Unten rechts KachelX + 1 36539 KachelY + 1 39231 0.36154010 -0.58340871 20.714722 -33.426857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58332869--0.58340871) × R
    8.00200000000695e-05 × 6371000     		dl = 509.807420000443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58332869--0.58340871) × R
    8.00200000000695e-05 × 6371000     		dr = 509.807420000443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36144422-0.36154010) × cos(-0.58332869) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834633817412895 × 6371000     		do = 509.837302624677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36144422-0.36154010) × cos(-0.58340871) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834589739307041 × 6371000     		du = 509.810377448481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58332869)-sin(-0.58340871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834633817412895-0.834589739307041)×R²
    abs(0.36154010-0.36144422)×4.40781058539397e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40781058539397e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40781058539397e-05×40589641000000     		ar = 259911.976682185m²