Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36537 / 102655
↖ ↑ ↗
← S 70.843772°
W 79.648132°		 ← 100.20 m → S 70.843772°
W 79.645386°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
S 70.844672°
W 79.648132°		 ← 100.20 m →
10 035 m²		 S 70.844672°
W 79.645386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278759002685547 y=0.783199310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278759002685547 × 217)
    floor (0.278759002685547 × 131072)
    floor (36537.5)     		tx = 36537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783199310302734 × 217)
    floor (0.783199310302734 × 131072)
    floor (102655.5)     		ty = 102655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36537 / 102655 ti = "17/36537/102655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36537/102655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36537 ÷ 217
    36537 ÷ 131072     		x = 0.278755187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102655 ÷ 217
    102655 ÷ 131072     		y = 0.783195495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278755187988281 × 2 - 1) × π
    -0.442489624023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.39012215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783195495605469 × 2 - 1) × π
    -0.566390991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.77936977699686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39012215} λ = -1.39012215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77936977699686))-π/2
    2×atan(0.168744460405184)-π/2
    2×0.167169630874224-π/2
    0.334339261748448-1.57079632675     		φ = -1.23645707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39012215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.648132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23645707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.843772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36537 KachelY 102655 -1.39012215 -1.23645707 -79.648132 -70.843772
    Oben rechts KachelX + 1 36538 KachelY 102655 -1.39007422 -1.23645707 -79.645386 -70.843772
    Unten links KachelX 36537 KachelY + 1 102656 -1.39012215 -1.23647279 -79.648132 -70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 36538 KachelY + 1 102656 -1.39007422 -1.23647279 -79.645386 -70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23645707--1.23647279) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dl = 100.152120001041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23645707--1.23647279) × R
    1.57200000001634e-05 × 6371000     		dr = 100.152120001041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39012215--1.39007422) × cos(-1.23645707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.32814508545711 × 6371000     		do = 100.203049429768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39012215--1.39007422) × cos(-1.23647279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 100.198514931185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23645707)-sin(-1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32814508545711-0.328130235874851)×R²
    abs(-1.39007422--1.39012215)×1.48495822582806e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48495822582806e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48495822582806e-05×40589641000000     		ar = 10035.3207613093m²