Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36536 / 39207
↖ ↑ ↗
← S 33.316758°
E 20.698242°		 ← 510.40 m → S 33.316758°
E 20.703735°		 →
↑
510.38 m
↓
↑
510.38 m
↓
S 33.321348°
E 20.698242°		 ← 510.38 m →
260 493 m²		 S 33.321348°
E 20.703735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557502746582031 y=0.598258972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557502746582031 × 216)
    floor (0.557502746582031 × 65536)
    floor (36536.5)     		tx = 36536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598258972167969 × 216)
    floor (0.598258972167969 × 65536)
    floor (39207.5)     		ty = 39207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36536 / 39207 ti = "16/36536/39207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36536/39207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36536 ÷ 216
    36536 ÷ 65536     		x = 0.5574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39207 ÷ 216
    39207 ÷ 65536     		y = 0.598251342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598251342773438 × 2 - 1) × π
    -0.196502685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.617331393307083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36125248} λ = 0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617331393307083))-π/2
    2×atan(0.539381916901627)-π/2
    2×0.494654599166377-π/2
    0.989309198332755-1.57079632675     		φ = -0.58148713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58148713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.316758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36536 KachelY 39207 0.36125248 -0.58148713 20.698242 -33.316758
    Oben rechts KachelX + 1 36537 KachelY 39207 0.36134835 -0.58148713 20.703735 -33.316758
    Unten links KachelX 36536 KachelY + 1 39208 0.36125248 -0.58156724 20.698242 -33.321348
    Unten rechts KachelX + 1 36537 KachelY + 1 39208 0.36134835 -0.58156724 20.703735 -33.321348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58148713--0.58156724) × R
    8.01100000000776e-05 × 6371000     		dl = 510.380810000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58148713--0.58156724) × R
    8.01100000000776e-05 × 6371000     		dr = 510.380810000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36125248-0.36134835) × cos(-0.58148713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835646742436788 × 6371000     		do = 510.402810320719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36125248-0.36134835) × cos(-0.58156724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835602737955285 × 6371000     		du = 510.375932921592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58148713)-sin(-0.58156724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835646742436788-0.835602737955285)×R²
    abs(0.36134835-0.36125248)×4.40044815031015e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40044815031015e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40044815031015e-05×40589641000000     		ar = 260492.941042925m²