Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36535 / 39223
↖ ↑ ↗
← S 33.390173°
E 20.692749°		 ← 510.03 m → S 33.390173°
E 20.698242°		 →
↑
510 m
↓
↑
510 m
↓
S 33.394759°
E 20.692749°		 ← 510 m →
260 106 m²		 S 33.394759°
E 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557487487792969 y=0.598503112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557487487792969 × 216)
    floor (0.557487487792969 × 65536)
    floor (36535.5)     		tx = 36535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598503112792969 × 216)
    floor (0.598503112792969 × 65536)
    floor (39223.5)     		ty = 39223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36535 / 39223 ti = "16/36535/39223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36535/39223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36535 ÷ 216
    36535 ÷ 65536     		x = 0.557479858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39223 ÷ 216
    39223 ÷ 65536     		y = 0.598495483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557479858398438 × 2 - 1) × π
    0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598495483398438 × 2 - 1) × π
    -0.196990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.618865374094925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36115660} λ = 0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618865374094925))-π/2
    2×atan(0.538555149688424)-π/2
    2×0.494013936255096-π/2
    0.988027872510191-1.57079632675     		φ = -0.58276845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58276845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.390173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36535 KachelY 39223 0.36115660 -0.58276845 20.692749 -33.390173
    Oben rechts KachelX + 1 36536 KachelY 39223 0.36125248 -0.58276845 20.698242 -33.390173
    Unten links KachelX 36535 KachelY + 1 39224 0.36115660 -0.58284850 20.692749 -33.394759
    Unten rechts KachelX + 1 36536 KachelY + 1 39224 0.36125248 -0.58284850 20.698242 -33.394759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58276845--0.58284850) × R
    8.00499999999982e-05 × 6371000     		dl = 509.998549999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58276845--0.58284850) × R
    8.00499999999982e-05 × 6371000     		dr = 509.998549999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36115660-0.36125248) × cos(-0.58276845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834942269530657 × 6371000     		do = 510.025721057321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36115660-0.36125248) × cos(-0.58284850) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.834898212335571 × 6371000     		du = 509.998808654499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58276845)-sin(-0.58284850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834942269530657-0.834898212335571)×R²
    abs(0.36125248-0.36115660)×4.40571950854896e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40571950854896e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40571950854896e-05×40589641000000     		ar = 260105.515697568m²