Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3653 / 2452
↖ ↑ ↗
← N 58.355631°
W 19.467773°		 ← 2 563.68 m → N 58.355631°
W 19.423828°		 →
↑
2 564.52 m
↓
↑
2 564.52 m
↓
N 58.332567°
W 19.467773°		 ← 2 565.35 m →
6 576 741 m²		 N 58.332567°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44598388671875 y=0.29937744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44598388671875 × 213)
    floor (0.44598388671875 × 8192)
    floor (3653.5)     		tx = 3653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29937744140625 × 213)
    floor (0.29937744140625 × 8192)
    floor (2452.5)     		ty = 2452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3653 / 2452 ti = "13/3653/2452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3653/2452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3653 ÷ 213
    3653 ÷ 8192     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2452 ÷ 213
    2452 ÷ 8192     		y = 0.29931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29931640625 × 2 - 1) × π
    0.4013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26093220760596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26093220760596))-π/2
    2×atan(3.52870944438127)-π/2
    2×1.29464710684189-π/2
    2.58929421368379-1.57079632675     		φ = 1.01849789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01849789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.355631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3653 KachelY 2452 -0.33977674 1.01849789 -19.467773 58.355631
    Oben rechts KachelX + 1 3654 KachelY 2452 -0.33900975 1.01849789 -19.423828 58.355631
    Unten links KachelX 3653 KachelY + 1 2453 -0.33977674 1.01809536 -19.467773 58.332567
    Unten rechts KachelX + 1 3654 KachelY + 1 2453 -0.33900975 1.01809536 -19.423828 58.332567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01849789-1.01809536) × R
    0.000402529999999901 × 6371000     		dl = 2564.51862999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01849789-1.01809536) × R
    0.000402529999999901 × 6371000     		dr = 2564.51862999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33900975) × cos(1.01849789) × R
    0.000766990000000023 × 0.524645320306961 × 6371000     		do = 2563.67583730994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33900975) × cos(1.01809536) × R
    0.000766990000000023 × 0.524987959998437 × 6371000     		du = 2565.35014386323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01849789)-sin(1.01809536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524645320306961-0.524987959998437)×R²
    abs(-0.33900975--0.33977674)×0.00034263969147541×R²
    0.000766990000000023×0.00034263969147541×6371000²
    0.000766990000000023×0.00034263969147541×40589641000000     		ar = 6576741.43003884m²