Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3653 / 2267
↖ ↑ ↗
← N 62.369996°
W 19.467773°		 ← 2 266.16 m → N 62.369996°
W 19.423828°		 →
↑
2 266.93 m
↓
↑
2 266.93 m
↓
N 62.349609°
W 19.467773°		 ← 2 267.70 m →
5 138 971 m²		 N 62.349609°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44598388671875 y=0.27679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44598388671875 × 213)
    floor (0.44598388671875 × 8192)
    floor (3653.5)     		tx = 3653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27679443359375 × 213)
    floor (0.27679443359375 × 8192)
    floor (2267.5)     		ty = 2267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3653 / 2267 ti = "13/3653/2267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3653/2267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3653 ÷ 213
    3653 ÷ 8192     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2267 ÷ 213
    2267 ÷ 8192     		y = 0.2767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2767333984375 × 2 - 1) × π
    0.446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40282543048132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40282543048132))-π/2
    2×atan(4.06667385414125)-π/2
    2×1.32967905817087-π/2
    2.65935811634174-1.57079632675     		φ = 1.08856179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08856179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.369996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3653 KachelY 2267 -0.33977674 1.08856179 -19.467773 62.369996
    Oben rechts KachelX + 1 3654 KachelY 2267 -0.33900975 1.08856179 -19.423828 62.369996
    Unten links KachelX 3653 KachelY + 1 2268 -0.33977674 1.08820597 -19.467773 62.349609
    Unten rechts KachelX + 1 3654 KachelY + 1 2268 -0.33900975 1.08820597 -19.423828 62.349609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08856179-1.08820597) × R
    0.000355820000000007 × 6371000     		dl = 2266.92922000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08856179-1.08820597) × R
    0.000355820000000007 × 6371000     		dr = 2266.92922000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33900975) × cos(1.08856179) × R
    0.000766990000000023 × 0.463760043816948 × 6371000     		do = 2266.16034228169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33900975) × cos(1.08820597) × R
    0.000766990000000023 × 0.464075257040907 × 6371000     		du = 2267.70062958549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08856179)-sin(1.08820597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463760043816948-0.464075257040907)×R²
    abs(-0.33900975--0.33977674)×0.000315213223959443×R²
    0.000766990000000023×0.000315213223959443×6371000²
    0.000766990000000023×0.000315213223959443×40589641000000     		ar = 5138971.01249071m²