Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3653 / 1852
↖ ↑ ↗
← N 69.718107°
W 19.467773°		 ← 1 693.85 m → N 69.718107°
W 19.423828°		 →
↑
1 694.43 m
↓
↑
1 694.43 m
↓
N 69.702868°
W 19.467773°		 ← 1 695.07 m →
2 871 146 m²		 N 69.702868°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44598388671875 y=0.22613525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44598388671875 × 213)
    floor (0.44598388671875 × 8192)
    floor (3653.5)     		tx = 3653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22613525390625 × 213)
    floor (0.22613525390625 × 8192)
    floor (1852.5)     		ty = 1852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3653 / 1852 ti = "13/3653/1852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3653/1852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3653 ÷ 213
    3653 ÷ 8192     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1852 ÷ 213
    1852 ÷ 8192     		y = 0.22607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22607421875 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7211264439585))-π/2
    2×atan(5.59082266699345)-π/2
    2×1.39380341846664-π/2
    2.78760683693329-1.57079632675     		φ = 1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3653 KachelY 1852 -0.33977674 1.21681051 -19.467773 69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 3654 KachelY 1852 -0.33900975 1.21681051 -19.423828 69.718107
    Unten links KachelX 3653 KachelY + 1 1853 -0.33977674 1.21654455 -19.467773 69.702868
    Unten rechts KachelX + 1 3654 KachelY + 1 1853 -0.33900975 1.21654455 -19.423828 69.702868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21681051-1.21654455) × R
    0.000265959999999898 × 6371000     		dl = 1694.43115999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21681051-1.21654455) × R
    0.000265959999999898 × 6371000     		dr = 1694.43115999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33900975) × cos(1.21681051) × R
    0.000766990000000023 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 1693.85032674843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33900975) × cos(1.21654455) × R
    0.000766990000000023 × 0.34688869914299 × 6371000     		du = 1695.0693007391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21681051)-sin(1.21654455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.34688869914299)×R²
    abs(-0.33900975--0.33977674)×0.000249457825545696×R²
    0.000766990000000023×0.000249457825545696×6371000²
    0.000766990000000023×0.000249457825545696×40589641000000     		ar = 2871145.52469795m²