Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36529 / 39271
↖ ↑ ↗
← S 33.610045°
E 20.659790°		 ← 508.68 m → S 33.610045°
E 20.665283°		 →
↑
508.66 m
↓
↑
508.66 m
↓
S 33.614619°
E 20.659790°		 ← 508.65 m →
258 738 m²		 S 33.614619°
E 20.665283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557395935058594 y=0.599235534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557395935058594 × 216)
    floor (0.557395935058594 × 65536)
    floor (36529.5)     		tx = 36529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599235534667969 × 216)
    floor (0.599235534667969 × 65536)
    floor (39271.5)     		ty = 39271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36529 / 39271 ti = "16/36529/39271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36529/39271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36529 ÷ 216
    36529 ÷ 65536     		x = 0.557388305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39271 ÷ 216
    39271 ÷ 65536     		y = 0.599227905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557388305664062 × 2 - 1) × π
    0.114776611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36058136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599227905273438 × 2 - 1) × π
    -0.198455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62346731645845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36058136} λ = 0.36058136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62346731645845))-π/2
    2×atan(0.536082443918581)-π/2
    2×0.492095193628347-π/2
    0.984190387256695-1.57079632675     		φ = -0.58660594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36058136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.659790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58660594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.610045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36529 KachelY 39271 0.36058136 -0.58660594 20.659790 -33.610045
    Oben rechts KachelX + 1 36530 KachelY 39271 0.36067723 -0.58660594 20.665283 -33.610045
    Unten links KachelX 36529 KachelY + 1 39272 0.36058136 -0.58668578 20.659790 -33.614619
    Unten rechts KachelX + 1 36530 KachelY + 1 39272 0.36067723 -0.58668578 20.665283 -33.614619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58660594--0.58668578) × R
    7.98400000000532e-05 × 6371000     		dl = 508.660640000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58660594--0.58668578) × R
    7.98400000000532e-05 × 6371000     		dr = 508.660640000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36058136-0.36067723) × cos(-0.58660594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.832824212102614 × 6371000     		do = 508.678843312151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36058136-0.36067723) × cos(-0.58668578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.832780015009381 × 6371000     		du = 508.651848268135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58660594)-sin(-0.58668578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832824212102614-0.832780015009381)×R²
    abs(0.36067723-0.36058136)×4.41970932327784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41970932327784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41970932327784e-05×40589641000000     		ar = 258738.040472727m²