Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36527 / 102660
↖ ↑ ↗
← S 70.848277°
W 79.675598°		 ← 100.20 m → S 70.848277°
W 79.672851°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
S 70.849178°
W 79.675598°		 ← 100.20 m →
10 035 m²		 S 70.849178°
W 79.672851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278682708740234 y=0.783237457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278682708740234 × 217)
    floor (0.278682708740234 × 131072)
    floor (36527.5)     		tx = 36527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783237457275391 × 217)
    floor (0.783237457275391 × 131072)
    floor (102660.5)     		ty = 102660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36527 / 102660 ti = "17/36527/102660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36527/102660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36527 ÷ 217
    36527 ÷ 131072     		x = 0.278678894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102660 ÷ 217
    102660 ÷ 131072     		y = 0.783233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278678894042969 × 2 - 1) × π
    -0.442642211914062 × 3.1415926535     		Λ = -1.39060152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.56646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.77960946149496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39060152} λ = -1.39060152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77960946149496))-π/2
    2×atan(0.168704019820568)-π/2
    2×0.167130309680221-π/2
    0.334260619360443-1.57079632675     		φ = -1.23653571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39060152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.675598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23653571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.848277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36527 KachelY 102660 -1.39060152 -1.23653571 -79.675598 -70.848277
    Oben rechts KachelX + 1 36528 KachelY 102660 -1.39055358 -1.23653571 -79.672851 -70.848277
    Unten links KachelX 36527 KachelY + 1 102661 -1.39060152 -1.23655143 -79.675598 -70.849178
    Unten rechts KachelX + 1 36528 KachelY + 1 102661 -1.39055358 -1.23655143 -79.672851 -70.849178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23653571--1.23655143) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dl = 100.152119999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23653571--1.23655143) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dr = 100.152119999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39060152--1.39055358) × cos(-1.23653571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32807079894886 × 6371000     		do = 100.201266541281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39060152--1.39055358) × cos(-1.23655143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.328055948960997 × 6371000     		du = 100.196730972749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23653571)-sin(-1.23655143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32807079894886-0.328055948960997)×R²
    abs(-1.39055358--1.39060152)×1.48499878627195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48499878627195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48499878627195e-05×40589641000000     		ar = 10035.1421474694m²