Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36525 / 39277
↖ ↑ ↗
← S 33.637489°
E 20.637817°		 ← 508.57 m → S 33.637489°
E 20.643311°		 →
↑
508.53 m
↓
↑
508.53 m
↓
S 33.642063°
E 20.637817°		 ← 508.54 m →
258 618 m²		 S 33.642063°
E 20.643311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557334899902344 y=0.599327087402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557334899902344 × 216)
    floor (0.557334899902344 × 65536)
    floor (36525.5)     		tx = 36525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599327087402344 × 216)
    floor (0.599327087402344 × 65536)
    floor (39277.5)     		ty = 39277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36525 / 39277 ti = "16/36525/39277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36525/39277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36525 ÷ 216
    36525 ÷ 65536     		x = 0.557327270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39277 ÷ 216
    39277 ÷ 65536     		y = 0.599319458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557327270507812 × 2 - 1) × π
    0.114654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36019786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599319458007812 × 2 - 1) × π
    -0.198638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.624042559253891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36019786} λ = 0.36019786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624042559253891))-π/2
    2×atan(0.535774155033936)-π/2
    2×0.49185569370612-π/2
    0.98371138741224-1.57079632675     		φ = -0.58708494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36019786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.637817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58708494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.637489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36525 KachelY 39277 0.36019786 -0.58708494 20.637817 -33.637489
    Oben rechts KachelX + 1 36526 KachelY 39277 0.36029374 -0.58708494 20.643311 -33.637489
    Unten links KachelX 36525 KachelY + 1 39278 0.36019786 -0.58716476 20.637817 -33.642063
    Unten rechts KachelX + 1 36526 KachelY + 1 39278 0.36029374 -0.58716476 20.643311 -33.642063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58708494--0.58716476) × R
    7.98199999999527e-05 × 6371000     		dl = 508.533219999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58708494--0.58716476) × R
    7.98199999999527e-05 × 6371000     		dr = 508.533219999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36019786-0.36029374) × cos(-0.58708494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832558972078897 × 6371000     		do = 508.569880281634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36019786-0.36029374) × cos(-0.58716476) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832514754221642 × 6371000     		du = 508.542869738087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58708494)-sin(-0.58716476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832558972078897-0.832514754221642)×R²
    abs(0.36029374-0.36019786)×4.42178572546137e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42178572546137e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42178572546137e-05×40589641000000     		ar = 258617.811072463m²