Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36525 / 105137
↖ ↑ ↗
← S 72.959120°
W 79.681091°		 ← 89.49 m → S 72.959120°
W 79.678345°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
S 72.959925°
W 79.681091°		 ← 89.48 m →
8 010 m²		 S 72.959925°
W 79.678345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278667449951172 y=0.802135467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278667449951172 × 217)
    floor (0.278667449951172 × 131072)
    floor (36525.5)     		tx = 36525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802135467529297 × 217)
    floor (0.802135467529297 × 131072)
    floor (105137.5)     		ty = 105137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36525 / 105137 ti = "17/36525/105137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36525/105137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36525 ÷ 217
    36525 ÷ 131072     		x = 0.278663635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105137 ÷ 217
    105137 ÷ 131072     		y = 0.802131652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278663635253906 × 2 - 1) × π
    -0.442672729492188 × 3.1415926535     		Λ = -1.39069739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802131652832031 × 2 - 1) × π
    -0.604263305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.89834916185384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39069739} λ = -1.39069739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89834916185384))-π/2
    2×atan(0.149815736724093)-π/2
    2×0.148709734157252-π/2
    0.297419468314505-1.57079632675     		φ = -1.27337686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39069739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.681091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27337686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.959120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36525 KachelY 105137 -1.39069739 -1.27337686 -79.681091 -72.959120
    Oben rechts KachelX + 1 36526 KachelY 105137 -1.39064946 -1.27337686 -79.678345 -72.959120
    Unten links KachelX 36525 KachelY + 1 105138 -1.39069739 -1.27339091 -79.681091 -72.959925
    Unten rechts KachelX + 1 36526 KachelY + 1 105138 -1.39064946 -1.27339091 -79.678345 -72.959925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27337686--1.27339091) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27337686--1.27339091) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39069739--1.39064946) × cos(-1.27337686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293053947908827 × 6371000     		do = 89.4875484330084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39069739--1.39064946) × cos(-1.27339091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293040514732407 × 6371000     		du = 89.4834464509876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27337686)-sin(-1.27339091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293053947908827-0.293040514732407)×R²
    abs(-1.39064946--1.39069739)×1.34331764195528e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34331764195528e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34331764195528e-05×40589641000000     		ar = 8010.07506406308m²