Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36521 / 37961
↖ ↑ ↗
← S 27.415662°
E 20.615845°		 ← 542.19 m → S 27.415662°
E 20.621338°		 →
↑
542.17 m
↓
↑
542.17 m
↓
S 27.420538°
E 20.615845°		 ← 542.17 m →
293 954 m²		 S 27.420538°
E 20.621338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557273864746094 y=0.579246520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557273864746094 × 216)
    floor (0.557273864746094 × 65536)
    floor (36521.5)     		tx = 36521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579246520996094 × 216)
    floor (0.579246520996094 × 65536)
    floor (37961.5)     		ty = 37961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36521 / 37961 ti = "16/36521/37961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36521/37961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36521 ÷ 216
    36521 ÷ 65536     		x = 0.557266235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37961 ÷ 216
    37961 ÷ 65536     		y = 0.579238891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557266235351562 × 2 - 1) × π
    0.114532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35981437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579238891601562 × 2 - 1) × π
    -0.158477783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.497872639453903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35981437} λ = 0.35981437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497872639453903))-π/2
    2×atan(0.607822342558523)-π/2
    2×0.546151378845216-π/2
    1.09230275769043-1.57079632675     		φ = -0.47849357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35981437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.615845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47849357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.415662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36521 KachelY 37961 0.35981437 -0.47849357 20.615845 -27.415662
    Oben rechts KachelX + 1 36522 KachelY 37961 0.35991024 -0.47849357 20.621338 -27.415662
    Unten links KachelX 36521 KachelY + 1 37962 0.35981437 -0.47857867 20.615845 -27.420538
    Unten rechts KachelX + 1 36522 KachelY + 1 37962 0.35991024 -0.47857867 20.621338 -27.420538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47849357--0.47857867) × R
    8.51000000000046e-05 × 6371000     		dl = 542.172100000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47849357--0.47857867) × R
    8.51000000000046e-05 × 6371000     		dr = 542.172100000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35981437-0.35991024) × cos(-0.47849357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887689554077089 × 6371000     		do = 542.189923187028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35981437-0.35991024) × cos(-0.47857867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887650367209776 × 6371000     		du = 542.165988327728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47849357)-sin(-0.47857867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887689554077089-0.887650367209776)×R²
    abs(0.35991024-0.35981437)×3.91868673138562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91868673138562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91868673138562e-05×40589641000000     		ar = 293953.761023947m²