Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36520 / 47784
↖ ↑ ↗
← S 63.332413°
E 20.610351°		 ← 274.16 m → S 63.332413°
E 20.615845°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
S 63.334878°
E 20.610351°		 ← 274.13 m →
75 138 m²		 S 63.334878°
E 20.615845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557258605957031 y=0.729133605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557258605957031 × 216)
    floor (0.557258605957031 × 65536)
    floor (36520.5)     		tx = 36520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729133605957031 × 216)
    floor (0.729133605957031 × 65536)
    floor (47784.5)     		ty = 47784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36520 / 47784 ti = "16/36520/47784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36520/47784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36520 ÷ 216
    36520 ÷ 65536     		x = 0.5572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47784 ÷ 216
    47784 ÷ 65536     		y = 0.7291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5572509765625 × 2 - 1) × π
    0.114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35971849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7291259765625 × 2 - 1) × π
    -0.458251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43964096938953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35971849} λ = 0.35971849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43964096938953))-π/2
    2×atan(0.237012838272134)-π/2
    2×0.232718600180955-π/2
    0.46543720036191-1.57079632675     		φ = -1.10535913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35971849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.610351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10535913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.332413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36520 KachelY 47784 0.35971849 -1.10535913 20.610351 -63.332413
    Oben rechts KachelX + 1 36521 KachelY 47784 0.35981437 -1.10535913 20.615845 -63.332413
    Unten links KachelX 36520 KachelY + 1 47785 0.35971849 -1.10540215 20.610351 -63.334878
    Unten rechts KachelX + 1 36521 KachelY + 1 47785 0.35981437 -1.10540215 20.615845 -63.334878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10535913--1.10540215) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dl = 274.080419999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10535913--1.10540215) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dr = 274.080419999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35971849-0.35981437) × cos(-1.10535913) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.448813534500879 × 6371000     		do = 274.158411793872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35971849-0.35981437) × cos(-1.10540215) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.448775090319528 × 6371000     		du = 274.134928108796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10535913)-sin(-1.10540215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448813534500879-0.448775090319528)×R²
    abs(0.35981437-0.35971849)×3.84441813515157e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84441813515157e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84441813515157e-05×40589641000000     		ar = 75138.2344532384m²