Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3652 / 2248
↖ ↑ ↗
← N 62.754726°
W 19.511718°		 ← 2 237.04 m → N 62.754726°
W 19.467773°		 →
↑
2 237.81 m
↓
↑
2 237.81 m
↓
N 62.734601°
W 19.511718°		 ← 2 238.57 m →
5 007 785 m²		 N 62.734601°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44586181640625 y=0.27447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44586181640625 × 213)
    floor (0.44586181640625 × 8192)
    floor (3652.5)     		tx = 3652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27447509765625 × 213)
    floor (0.27447509765625 × 8192)
    floor (2248.5)     		ty = 2248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3652 / 2248 ti = "13/3652/2248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3652/2248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3652 ÷ 213
    3652 ÷ 8192     		x = 0.44580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2248 ÷ 213
    2248 ÷ 8192     		y = 0.2744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34054373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    0.451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41739824796582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34054373} λ = -0.34054373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41739824796582))-π/2
    2×atan(4.12637066891391)-π/2
    2×1.3330364576966-π/2
    2.6660729153932-1.57079632675     		φ = 1.09527659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34054373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.511718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09527659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.754726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3652 KachelY 2248 -0.34054373 1.09527659 -19.511718 62.754726
    Oben rechts KachelX + 1 3653 KachelY 2248 -0.33977674 1.09527659 -19.467773 62.754726
    Unten links KachelX 3652 KachelY + 1 2249 -0.34054373 1.09492534 -19.511718 62.734601
    Unten rechts KachelX + 1 3653 KachelY + 1 2249 -0.33977674 1.09492534 -19.467773 62.734601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09527659-1.09492534) × R
    0.000351250000000025 × 6371000     		dl = 2237.81375000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09527659-1.09492534) × R
    0.000351250000000025 × 6371000     		dr = 2237.81375000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34054373--0.33977674) × cos(1.09527659) × R
    0.000766989999999967 × 0.45780058353743 × 6371000     		do = 2237.03947961364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34054373--0.33977674) × cos(1.09492534) × R
    0.000766989999999967 × 0.458112835825777 × 6371000     		du = 2238.56529832543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09527659)-sin(1.09492534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45780058353743-0.458112835825777)×R²
    abs(-0.33977674--0.34054373)×0.000312252288346748×R²
    0.000766989999999967×0.000312252288346748×6371000²
    0.000766989999999967×0.000312252288346748×40589641000000     		ar = 5007785.00730642m²