Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36518 / 47787
↖ ↑ ↗
← S 63.339808°
E 20.599365°		 ← 274.06 m → S 63.339808°
E 20.604858°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
S 63.342272°
E 20.599365°		 ← 274.04 m →
75 094 m²		 S 63.342272°
E 20.604858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557228088378906 y=0.729179382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557228088378906 × 216)
    floor (0.557228088378906 × 65536)
    floor (36518.5)     		tx = 36518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729179382324219 × 216)
    floor (0.729179382324219 × 65536)
    floor (47787.5)     		ty = 47787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36518 / 47787 ti = "16/36518/47787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36518/47787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36518 ÷ 216
    36518 ÷ 65536     		x = 0.557220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47787 ÷ 216
    47787 ÷ 65536     		y = 0.729171752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557220458984375 × 2 - 1) × π
    0.11444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35952675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729171752929688 × 2 - 1) × π
    -0.458343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43992859078725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35952675} λ = 0.35952675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43992859078725))-π/2
    2×atan(0.236944678110943)-π/2
    2×0.232654064286671-π/2
    0.465308128573343-1.57079632675     		φ = -1.10548820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35952675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10548820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.339808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36518 KachelY 47787 0.35952675 -1.10548820 20.599365 -63.339808
    Oben rechts KachelX + 1 36519 KachelY 47787 0.35962262 -1.10548820 20.604858 -63.339808
    Unten links KachelX 36518 KachelY + 1 47788 0.35952675 -1.10553121 20.599365 -63.342272
    Unten rechts KachelX + 1 36519 KachelY + 1 47788 0.35962262 -1.10553121 20.604858 -63.342272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10548820--1.10553121) × R
    4.30100000001765e-05 × 6371000     		dl = 274.016710001125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10548820--1.10553121) × R
    4.30100000001765e-05 × 6371000     		dr = 274.016710001125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35952675-0.35962262) × cos(-1.10548820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44869819052839 × 6371000     		do = 274.059367195865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35952675-0.35962262) × cos(-1.10553121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448659752792414 × 6371000     		du = 274.035889896824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10548820)-sin(-1.10553121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44869819052839-0.448659752792414)×R²
    abs(0.35962262-0.35952675)×3.84377359764487e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84377359764487e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84377359764487e-05×40589641000000     		ar = 75093.6295693374m²