Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36518 / 38054
↖ ↑ ↗
← S 27.868217°
E 20.599365°		 ← 539.95 m → S 27.868217°
E 20.604858°		 →
↑
539.94 m
↓
↑
539.94 m
↓
S 27.873073°
E 20.599365°		 ← 539.93 m →
291 536 m²		 S 27.873073°
E 20.604858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557228088378906 y=0.580665588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557228088378906 × 216)
    floor (0.557228088378906 × 65536)
    floor (36518.5)     		tx = 36518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580665588378906 × 216)
    floor (0.580665588378906 × 65536)
    floor (38054.5)     		ty = 38054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36518 / 38054 ti = "16/36518/38054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36518/38054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36518 ÷ 216
    36518 ÷ 65536     		x = 0.557220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38054 ÷ 216
    38054 ÷ 65536     		y = 0.580657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557220458984375 × 2 - 1) × π
    0.11444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35952675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.16131591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506788902783234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35952675} λ = 0.35952675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506788902783234))-π/2
    2×atan(0.602426927709069)-π/2
    2×0.542202095418155-π/2
    1.08440419083631-1.57079632675     		φ = -0.48639214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35952675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.599365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48639214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.868217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36518 KachelY 38054 0.35952675 -0.48639214 20.599365 -27.868217
    Oben rechts KachelX + 1 36519 KachelY 38054 0.35962262 -0.48639214 20.604858 -27.868217
    Unten links KachelX 36518 KachelY + 1 38055 0.35952675 -0.48647689 20.599365 -27.873073
    Unten rechts KachelX + 1 36519 KachelY + 1 38055 0.35962262 -0.48647689 20.604858 -27.873073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48639214--0.48647689) × R
    8.47500000000223e-05 × 6371000     		dl = 539.942250000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48639214--0.48647689) × R
    8.47500000000223e-05 × 6371000     		dr = 539.942250000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35952675-0.35962262) × cos(-0.48639214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.884025064738971 × 6371000     		do = 539.95169791601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35952675-0.35962262) × cos(-0.48647689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883985446066724 × 6371000     		du = 539.927499315538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48639214)-sin(-0.48647689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884025064738971-0.883985446066724)×R²
    abs(0.35962262-0.35952675)×3.96186722472214e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96186722472214e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96186722472214e-05×40589641000000     		ar = 291536.201915246m²