Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36517 / 37955
↖ ↑ ↗
← S 27.386401°
E 20.593872°		 ← 542.39 m → S 27.386401°
E 20.599365°		 →
↑
542.36 m
↓
↑
542.36 m
↓
S 27.391278°
E 20.593872°		 ← 542.37 m →
294 166 m²		 S 27.391278°
E 20.599365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557212829589844 y=0.579154968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557212829589844 × 216)
    floor (0.557212829589844 × 65536)
    floor (36517.5)     		tx = 36517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579154968261719 × 216)
    floor (0.579154968261719 × 65536)
    floor (37955.5)     		ty = 37955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36517 / 37955 ti = "16/36517/37955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36517/37955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36517 ÷ 216
    36517 ÷ 65536     		x = 0.557205200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37955 ÷ 216
    37955 ÷ 65536     		y = 0.579147338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557205200195312 × 2 - 1) × π
    0.114410400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35943087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579147338867188 × 2 - 1) × π
    -0.158294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.497297396658463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35943087} λ = 0.35943087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.497297396658463))-π/2
    2×atan(0.608172088566779)-π/2
    2×0.546406731160129-π/2
    1.09281346232026-1.57079632675     		φ = -0.47798286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35943087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.593872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47798286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.386401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36517 KachelY 37955 0.35943087 -0.47798286 20.593872 -27.386401
    Oben rechts KachelX + 1 36518 KachelY 37955 0.35952675 -0.47798286 20.599365 -27.386401
    Unten links KachelX 36517 KachelY + 1 37956 0.35943087 -0.47806799 20.593872 -27.391278
    Unten rechts KachelX + 1 36518 KachelY + 1 37956 0.35952675 -0.47806799 20.599365 -27.391278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47798286--0.47806799) × R
    8.51299999999888e-05 × 6371000     		dl = 542.363229999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47798286--0.47806799) × R
    8.51299999999888e-05 × 6371000     		dr = 542.363229999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35943087-0.35952675) × cos(-0.47798286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887924590868055 × 6371000     		do = 542.390050460104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35943087-0.35952675) × cos(-0.47806799) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887885428783309 × 6371000     		du = 542.366128242677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47798286)-sin(-0.47806799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887924590868055-0.887885428783309)×R²
    abs(0.35952675-0.35943087)×3.91620847457474e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.91620847457474e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.91620847457474e-05×40589641000000     		ar = 294165.932599607m²