Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36516 / 105068
↖ ↑ ↗
← S 72.903494°
W 79.705811°		 ← 89.79 m → S 72.903494°
W 79.703064°		 →
↑
89.77 m
↓
↑
89.77 m
↓
S 72.904301°
W 79.705811°		 ← 89.79 m →
8 060 m²		 S 72.904301°
W 79.703064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 105068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.278598785400391 y=0.801609039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.278598785400391 × 217)
    floor (0.278598785400391 × 131072)
    floor (36516.5)     		tx = 36516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801609039306641 × 217)
    floor (0.801609039306641 × 131072)
    floor (105068.5)     		ty = 105068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36516 / 105068 ti = "17/36516/105068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36516/105068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36516 ÷ 217
    36516 ÷ 131072     		x = 0.278594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 105068 ÷ 217
    105068 ÷ 131072     		y = 0.801605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.44281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39112883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.60321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89504151578006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39112883} λ = -1.39112883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89504151578006))-π/2
    2×atan(0.150312094593003)-π/2
    2×0.149195160611955-π/2
    0.29839032122391-1.57079632675     		φ = -1.27240601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39112883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.705811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27240601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.903494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36516 KachelY 105068 -1.39112883 -1.27240601 -79.705811 -72.903494
    Oben rechts KachelX + 1 36517 KachelY 105068 -1.39108089 -1.27240601 -79.703064 -72.903494
    Unten links KachelX 36516 KachelY + 1 105069 -1.39112883 -1.27242010 -79.705811 -72.904301
    Unten rechts KachelX + 1 36517 KachelY + 1 105069 -1.39108089 -1.27242010 -79.703064 -72.904301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27240601--1.27242010) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dl = 89.7673899990801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27240601--1.27242010) × R
    1.40899999998556e-05 × 6371000     		dr = 89.7673899990801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39112883--1.39108089) × cos(-1.27240601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293982035365492 × 6371000     		do = 89.7896806981526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39112883--1.39108089) × cos(-1.27242010) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293968567960093 × 6371000     		du = 89.7855674058929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27240601)-sin(-1.27242010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293982035365492-0.293968567960093)×R²
    abs(-1.39108089--1.39112883)×1.34674053985373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34674053985373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34674053985373e-05×40589641000000     		ar = 8060.00066559918m²