Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3651 / 2389
↖ ↑ ↗
← N 59.778522°
W 19.555664°		 ← 2 459.62 m → N 59.778522°
W 19.511718°		 →
↑
2 460.42 m
↓
↑
2 460.42 m
↓
N 59.756395°
W 19.555664°		 ← 2 461.25 m →
6 053 692 m²		 N 59.756395°
W 19.511718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44573974609375 y=0.29168701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44573974609375 × 213)
    floor (0.44573974609375 × 8192)
    floor (3651.5)     		tx = 3651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29168701171875 × 213)
    floor (0.29168701171875 × 8192)
    floor (2389.5)     		ty = 2389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3651 / 2389 ti = "13/3651/2389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3651/2389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3651 ÷ 213
    3651 ÷ 8192     		x = 0.4456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2389 ÷ 213
    2389 ÷ 8192     		y = 0.2916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34131073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2916259765625 × 2 - 1) × π
    0.416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30925260242297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34131073} λ = -0.34131073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30925260242297))-π/2
    2×atan(3.70340476183995)-π/2
    2×1.30706417869532-π/2
    2.61412835739065-1.57079632675     		φ = 1.04333203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34131073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.555664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04333203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.778522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3651 KachelY 2389 -0.34131073 1.04333203 -19.555664 59.778522
    Oben rechts KachelX + 1 3652 KachelY 2389 -0.34054373 1.04333203 -19.511718 59.778522
    Unten links KachelX 3651 KachelY + 1 2390 -0.34131073 1.04294584 -19.555664 59.756395
    Unten rechts KachelX + 1 3652 KachelY + 1 2390 -0.34054373 1.04294584 -19.511718 59.756395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04333203-1.04294584) × R
    0.000386189999999953 × 6371000     		dl = 2460.4164899997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04333203-1.04294584) × R
    0.000386189999999953 × 6371000     		dr = 2460.4164899997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34131073--0.34054373) × cos(1.04333203) × R
    0.000767000000000018 × 0.503343895659368 × 6371000     		do = 2459.61863674161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34131073--0.34054373) × cos(1.04294584) × R
    0.000767000000000018 × 0.503677559557049 × 6371000     		du = 2461.24910439647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04333203)-sin(1.04294584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503343895659368-0.503677559557049)×R²
    abs(-0.34054373--0.34131073)×0.000333663897680636×R²
    0.000767000000000018×0.000333663897680636×6371000²
    0.000767000000000018×0.000333663897680636×40589641000000     		ar = 6053692.14294181m²