Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36509 / 38069
↖ ↑ ↗
← S 27.941033°
E 20.549927°		 ← 539.64 m → S 27.941033°
E 20.555420°		 →
↑
539.62 m
↓
↑
539.62 m
↓
S 27.945886°
E 20.549927°		 ← 539.62 m →
291 199 m²		 S 27.945886°
E 20.555420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557090759277344 y=0.580894470214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557090759277344 × 216)
    floor (0.557090759277344 × 65536)
    floor (36509.5)     		tx = 36509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580894470214844 × 216)
    floor (0.580894470214844 × 65536)
    floor (38069.5)     		ty = 38069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36509 / 38069 ti = "16/36509/38069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36509/38069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36509 ÷ 216
    36509 ÷ 65536     		x = 0.557083129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38069 ÷ 216
    38069 ÷ 65536     		y = 0.580886840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557083129882812 × 2 - 1) × π
    0.114166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35866388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580886840820312 × 2 - 1) × π
    -0.161773681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.508227009771835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35866388} λ = 0.35866388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508227009771835))-π/2
    2×atan(0.601561195990832)-π/2
    2×0.541566647882836-π/2
    1.08313329576567-1.57079632675     		φ = -0.48766303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35866388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.549927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48766303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.941033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36509 KachelY 38069 0.35866388 -0.48766303 20.549927 -27.941033
    Oben rechts KachelX + 1 36510 KachelY 38069 0.35875976 -0.48766303 20.555420 -27.941033
    Unten links KachelX 36509 KachelY + 1 38070 0.35866388 -0.48774773 20.549927 -27.945886
    Unten rechts KachelX + 1 36510 KachelY + 1 38070 0.35875976 -0.48774773 20.555420 -27.945886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48766303--0.48774773) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dl = 539.623699999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48766303--0.48774773) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dr = 539.623699999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35866388-0.35875976) × cos(-0.48766303) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883430286792949 × 6371000     		do = 539.644698164256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35866388-0.35875976) × cos(-0.48774773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883390596370222 × 6371000     		du = 539.620453210791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48766303)-sin(-0.48774773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883430286792949-0.883390596370222)×R²
    abs(0.35875976-0.35866388)×3.96904227270012e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96904227270012e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96904227270012e-05×40589641000000     		ar = 291198.527306969m²