Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36507 / 37964
↖ ↑ ↗
← S 27.430290°
E 20.538941°		 ← 542.12 m → S 27.430290°
E 20.544434°		 →
↑
542.11 m
↓
↑
542.11 m
↓
S 27.435165°
E 20.538941°		 ← 542.09 m →
293 880 m²		 S 27.435165°
E 20.544434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557060241699219 y=0.579292297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557060241699219 × 216)
    floor (0.557060241699219 × 65536)
    floor (36507.5)     		tx = 36507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579292297363281 × 216)
    floor (0.579292297363281 × 65536)
    floor (37964.5)     		ty = 37964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36507 / 37964 ti = "16/36507/37964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36507/37964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36507 ÷ 216
    36507 ÷ 65536     		x = 0.557052612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37964 ÷ 216
    37964 ÷ 65536     		y = 0.57928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557052612304688 × 2 - 1) × π
    0.114105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35847214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.1585693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.498160260851624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35847214} λ = 0.35847214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498160260851624))-π/2
    2×atan(0.607647544985757)-π/2
    2×0.546023728044183-π/2
    1.09204745608837-1.57079632675     		φ = -0.47874887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35847214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.538941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47874887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.430290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36507 KachelY 37964 0.35847214 -0.47874887 20.538941 -27.430290
    Oben rechts KachelX + 1 36508 KachelY 37964 0.35856801 -0.47874887 20.544434 -27.430290
    Unten links KachelX 36507 KachelY + 1 37965 0.35847214 -0.47883396 20.538941 -27.435165
    Unten rechts KachelX + 1 36508 KachelY + 1 37965 0.35856801 -0.47883396 20.544434 -27.435165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47874887--0.47883396) × R
    8.50900000000099e-05 × 6371000     		dl = 542.108390000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47874887--0.47883396) × R
    8.50900000000099e-05 × 6371000     		dr = 542.108390000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35847214-0.35856801) × cos(-0.47874887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887571974190313 × 6371000     		do = 542.118106830187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35847214-0.35856801) × cos(-0.47883396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887532772646178 × 6371000     		du = 542.094163006464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47874887)-sin(-0.47883396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887571974190313-0.887532772646178)×R²
    abs(0.35856801-0.35847214)×3.9201544134948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9201544134948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9201544134948e-05×40589641000000     		ar = 293880.284187011m²