Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36504 / 38120
↖ ↑ ↗
← S 28.188244°
E 20.522461°		 ← 538.40 m → S 28.188244°
E 20.527954°		 →
↑
538.35 m
↓
↑
538.35 m
↓
S 28.193085°
E 20.522461°		 ← 538.38 m →
289 843 m²		 S 28.193085°
E 20.527954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557014465332031 y=0.581672668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557014465332031 × 216)
    floor (0.557014465332031 × 65536)
    floor (36504.5)     		tx = 36504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581672668457031 × 216)
    floor (0.581672668457031 × 65536)
    floor (38120.5)     		ty = 38120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36504 / 38120 ti = "16/36504/38120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36504/38120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36504 ÷ 216
    36504 ÷ 65536     		x = 0.5570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38120 ÷ 216
    38120 ÷ 65536     		y = 0.5816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5570068359375 × 2 - 1) × π
    0.114013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35818451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.513116573533081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35818451} λ = 0.35818451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513116573533081))-π/2
    2×atan(0.598627003473291)-π/2
    2×0.539409332451589-π/2
    1.07881866490318-1.57079632675     		φ = -0.49197766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35818451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.522461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49197766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.188244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36504 KachelY 38120 0.35818451 -0.49197766 20.522461 -28.188244
    Oben rechts KachelX + 1 36505 KachelY 38120 0.35828039 -0.49197766 20.527954 -28.188244
    Unten links KachelX 36504 KachelY + 1 38121 0.35818451 -0.49206216 20.522461 -28.193085
    Unten rechts KachelX + 1 36505 KachelY + 1 38121 0.35828039 -0.49206216 20.527954 -28.193085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49197766--0.49206216) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dl = 538.349500000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49197766--0.49206216) × R
    8.45000000000429e-05 × 6371000     		dr = 538.349500000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35818451-0.35828039) × cos(-0.49197766) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88140039576013 × 6371000     		do = 538.40473622262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35818451-0.35828039) × cos(-0.49206216) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.881360477355136 × 6371000     		du = 538.38035200585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49197766)-sin(-0.49206216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88140039576013-0.881360477355136)×R²
    abs(0.35828039-0.35818451)×3.991840499451e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.991840499451e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.991840499451e-05×40589641000000     		ar = 289843.357100113m²