Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36502 / 39275
↖ ↑ ↗
← S 33.628342°
E 20.511475°		 ← 508.57 m → S 33.628342°
E 20.516968°		 →
↑
508.60 m
↓
↑
508.60 m
↓
S 33.632916°
E 20.511475°		 ← 508.54 m →
258 651 m²		 S 33.632916°
E 20.516968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556983947753906 y=0.599296569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556983947753906 × 216)
    floor (0.556983947753906 × 65536)
    floor (36502.5)     		tx = 36502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599296569824219 × 216)
    floor (0.599296569824219 × 65536)
    floor (39275.5)     		ty = 39275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36502 / 39275 ti = "16/36502/39275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36502/39275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36502 ÷ 216
    36502 ÷ 65536     		x = 0.556976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39275 ÷ 216
    39275 ÷ 65536     		y = 0.599288940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556976318359375 × 2 - 1) × π
    0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599288940429688 × 2 - 1) × π
    -0.198577880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.623850811655411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35799277} λ = 0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.623850811655411))-π/2
    2×atan(0.535876898291563)-π/2
    2×0.49193551853682-π/2
    0.983871037073639-1.57079632675     		φ = -0.58692529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58692529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.628342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36502 KachelY 39275 0.35799277 -0.58692529 20.511475 -33.628342
    Oben rechts KachelX + 1 36503 KachelY 39275 0.35808864 -0.58692529 20.516968 -33.628342
    Unten links KachelX 36502 KachelY + 1 39276 0.35799277 -0.58700512 20.511475 -33.632916
    Unten rechts KachelX + 1 36503 KachelY + 1 39276 0.35808864 -0.58700512 20.516968 -33.632916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58692529--0.58700512) × R
    7.9830000000003e-05 × 6371000     		dl = 508.596930000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58692529--0.58700512) × R
    7.9830000000003e-05 × 6371000     		dr = 508.596930000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35799277-0.35808864) × cos(-0.58692529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.832647397417879 × 6371000     		do = 508.570847065159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35799277-0.35808864) × cos(-0.58700512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.832603184631725 × 6371000     		du = 508.543842436098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58692529)-sin(-0.58700512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832647397417879-0.832603184631725)×R²
    abs(0.35808864-0.35799277)×4.42127861545183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42127861545183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42127861545183e-05×40589641000000     		ar = 258650.704406232m²