Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36502 / 37967
↖ ↑ ↗
← S 27.444916°
E 20.511475°		 ← 542.05 m → S 27.444916°
E 20.516968°		 →
↑
542.04 m
↓
↑
542.04 m
↓
S 27.449790°
E 20.511475°		 ← 542.02 m →
293 807 m²		 S 27.449790°
E 20.516968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556983947753906 y=0.579338073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556983947753906 × 216)
    floor (0.556983947753906 × 65536)
    floor (36502.5)     		tx = 36502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579338073730469 × 216)
    floor (0.579338073730469 × 65536)
    floor (37967.5)     		ty = 37967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36502 / 37967 ti = "16/36502/37967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36502/37967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36502 ÷ 216
    36502 ÷ 65536     		x = 0.556976318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37967 ÷ 216
    37967 ÷ 65536     		y = 0.579330444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556976318359375 × 2 - 1) × π
    0.11395263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35799277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579330444335938 × 2 - 1) × π
    -0.158660888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.498447882249344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35799277} λ = 0.35799277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498447882249344))-π/2
    2×atan(0.607472797681283)-π/2
    2×0.545896094155542-π/2
    1.09179218831108-1.57079632675     		φ = -0.47900414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35799277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.511475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47900414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.444916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36502 KachelY 37967 0.35799277 -0.47900414 20.511475 -27.444916
    Oben rechts KachelX + 1 36503 KachelY 37967 0.35808864 -0.47900414 20.516968 -27.444916
    Unten links KachelX 36502 KachelY + 1 37968 0.35799277 -0.47908922 20.511475 -27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 36503 KachelY + 1 37968 0.35808864 -0.47908922 20.516968 -27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47900414--0.47908922) × R
    8.50799999999596e-05 × 6371000     		dl = 542.044679999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47900414--0.47908922) × R
    8.50799999999596e-05 × 6371000     		dr = 542.044679999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35799277-0.35808864) × cos(-0.47900414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88745435028016 × 6371000     		do = 542.046263584406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35799277-0.35808864) × cos(-0.47908922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 542.022310801973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47900414)-sin(-0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88745435028016-0.887415134068556)×R²
    abs(0.35808864-0.35799277)×3.92162116040762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92162116040762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92162116040762e-05×40589641000000     		ar = 293806.801927739m²